机器学习的钻研之旅常伴随着线性代数。初探之下，矩阵和向量理解起来尚算容易，但一旦遇到张量这个概念，便会有种进入迷雾之中的感觉。
张量的乘法涉及到的脚标繁多，常令人感到困惑。然而在NumPy、TensorFlow等工具中，张量却是一种不可或缺的变量类型。如何解开它的神秘面纱呢？
来自纽约市立大学的姐Tai-Danae，以手绘的方式为人们揭示了张量乘法的直观理解方法，她的博客文章在初学者中反响热烈。
随后，又有一位来自印度理工学院的小哥，利用3blue1brown的数学动画工具manim，将张量乘法制作成动画，以通俗易懂的方式展示了张量乘法的运算过程。
接下来，让我们一同探索他们是如何图解张量运算的吧。
在深入探讨张量运算之前，先来了解一下爱因斯坦求和约定。
爱因斯坦求和约定是由爱因斯坦在研究相对论时提出的。由于相对论中经常涉及到张量乘积运算，爱因斯坦发明了一种简化写法，这种方法后来被广泛采用。
例如两个矩阵相乘时，其定义如下：
仔细观察后你会发现，当矩阵A的第二个脚标与矩阵B的第一个脚标相它们都是k。这意味着A的第k行与B的第k列相对应的元素相乘后相加，最后的结果中k消失了。
所以按照爱因斯坦的规定，遇到脚标相同的情况时，即表示对那个脚标进行求和操作，求和符号可以省略。
张量运算的公式得到了极大的简化。
Rajat发现，如果把矩阵的两个维度想象成两个“触角”，那么将相同脚标的“触角”连接起来就是矩阵乘法。
实际上，在Rajat之前就已经有人引入了“张量网络”的概念。它用一个节点和几条伸出去的线来表示张量。
线的条数等于张量的阶数。例如矩阵是二阶张量，所以有两条线相连：
(这里附上Tai-Danae的手绘图)
在矩阵乘法的情境中，相同的脚标就如同两条相连的线。两个矩阵M和N通过这种方式连接起来：
经过乘法运算后得到的张量只剩下两个向外的边。这时可以将中间的节点压缩成一个节点：
因此矩阵乘以矩阵的结果仍然是一个二阶张量。
Rajat在“张量网络”的基础上加入了一系列视频元素，以更生动的方式展示了多种常见的张量运算。
以图解方式呈现如下：