矩阵的行列式，也称为determinate（简称det），是通过对矩阵所包含的行列数据进行计算而得到的一个标量值。这一概念主要是为了求解线性方程组而引入的。
计算方法主要依据：对角线法则。
在求解行列式时，还会涉及到计算排列的逆序数。
性质一指出，行列式与其转置行列式在数值上是相等的。这表明在行列式中，行与列具有同等的地位，凡是对行成立的性质对列也同样适用。
性质二提到，如果互换行列式的两行（列）的位置，将会导致行列式变号。由此，可以推导出如果行列式中有两行（列）完全相同，那么此行列式的值为零。
性质三解释了当行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个倍数k时，其结果等于用数k乘以此行列式。
进一步推论得出，行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的符号之外。
性质四表明，如果行列式中存在两行（列）的元素成比例，那么此行列式的值为零。
性质五描述了如果行列式的某一列（行）的元素都是两数之和时，其值等于对应的两个行列式的值之和。
性质六指出，当把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数后加到另一列（行）对应的元素上时，不会改变行列式的值。
在计算行列式时，可以采用以下方法：
- 利用定义直接计算；
- 通过运用上述性质将行列式化为上三角形行列式，从而得出其值。
相关定理中包含了三个重要的结论：
- 方程组有解；
- 解是唯一的；
- 解可以通过特定的公式给出。
定理四指出，如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组必定有解，并且解是唯一的。
定理四的补充则表明，如果线性方程组无解或有多个解，那么它的系数行列式必定为零。
定理五说明，对于齐次线性方程组，如果其系数行列式D不等于0，则该方程组只有零解，没有非零解。
定理五的补充则表示，如果齐次线性方程组存在非零解，则其系数行列式必定为零。
在解决线性方程组时，克拉默法则是一种重要的方法。其应用需要满足两个条件：
- 方程的数量与未知数的数量相等；
- 系数行列式不等于零。
克拉默法则的意义在于建立了线性方程组的解与已知的系数及常数项之间的关系。这一方法主要适用于理论推导。
需要注意的是，对角线法则主要适用于二阶和三阶的行列式计算。
本节的主要内容是探讨如何利用低阶行列式来表示高阶行列式。