随机变量在统计分析与概率建模中扮演着核心角色，其特性决定了数据集的分布特性，进而为预测和推断提供了重要依据。
文章内容概览：
1. 引言
2. 高斯/正态分布（Gaussian/Normal Distribution）
3. 二项分布（Binomial Distribution）
4. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）
5. 对数正态分布（Log Normal Distribution）
6. 幂律分布（Power Law Distribution）
7. 分布函数的应用
每当我们面对概率实验时，我们都在与随机变量打交道。例如，掷骰子时，我们期望从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6}中获取一个值。我们定义了一个随机变量X，它在每次掷骰时取这些值。
随机变量可以是离散值或连续值，这取决于实验的性质。骰子投掷的例子涉及离散随机变量，因为它取一个具体的、离散的值。当我们讨论某个城镇的房价时，涉及的随机变量可以取连续的值。
当我们绘制随机变量的期望值与实验现频率的关系时，我们会得到一个频率分布图，通常以直方图的形式呈现。通过对这些直方图进行平滑处理，我们可以得到一个分布函数，通常呈现为一条曲线。
高斯/正态分布：
高斯/正态分布是一种连续的概率分布函数，其中随机变量在均值（μ）和方差（σ²）周围呈对称分布。均值决定了曲线的峰值位置，而方差则决定了曲线的宽度和高度。当μ=0且σ=1时，我们称之为标准正态分布。
二项分布：
二项分布描述了重复进行两次可能结果（如成功或失败）的实验的概率分布。主要参数为n（试验次数）和p（成功概率）。在板球比赛中，我们可以使用二项分布来估算Rohit Sharma打全垒打的次数。
伯努利分布：
伯努利分布是二项分布的一个特例，其中n=1。这意味着实验只有一次试验结果，通常用来描述一个简单的“成功”或“失败”的实验。
对数正态分布：
对数正态分布与正态分布相关联。如果随机变量X的对数值呈正态分布，那么X就遵循对数正态分布。这种分布在某些金融和经济领域中特别重要。
幂律分布：
幂律描述了两个量之间的关系，其中一个量的变化将成比例地改变另一个量。在帕累托分布中，我们可以看到80-20法则的体现，即少数的高值部分包含了大部分的质量或数据。
了解了这些分布的特性后，当我们面对实际数据集时，可以通过选择合适的分布模型来帮助我们理解和预测数据的特性。例如，在人口身高分析中，即使不能对所有人进行调查，我们也可以通过分析样本数据来推断整体情况。这得益于我们能够利用分布函数来描述和解释数据的特性。