方程在数学领域内有着举足轻重的地位。我们常见的一次、二次以及三次方程等，部分可以通过求根公式来求解。本文主要探讨的是一般性的一元n次复系数方程，其形式如下：
根据高斯定理，满足上述条件的n次系数方程的根是唯一存在的。但值得注意的是，根据伽罗瓦群理论，五次及以上的方程通常没有求根公式，这并不意味着这些方程没有解，而是表示解的形式可能涉及超越数（如圆周率π、自然常数e等），或需借助其他方法如二分法、不动点迭代等进行求解。
本文将介绍一种优化的不动点迭代法——牛顿迭代法（Newton-Iterative-Method）。牛顿迭代法，也被称为牛顿-拉夫森（Newton-Raphson）迭代法，其应用范围广泛，不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程的求解。
设f(x)属于C²[m，n]，在x₀∈[m，n]的领域内对f(x)进行泰勒展开，可得到一个关于x₀的切线方程。这个切线方程可以用来作为f(x)=0的近似解的线性近似式。从这里出发，我们得到x的迭代格式。
几何上，牛顿迭代法得名于其切线法特性。f(x)的线性化近似函数是曲线y=f(x)在点（x₀，f(x₀)）的切线得到的。通过这种方法，我们可以求得与f(x)的零点近似相交的切线与X轴交点的横坐标，即真实的根值X。实际上，牛顿迭代法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步转化为线性方程来求解。
那么，牛顿迭代法是否收敛呢？或者说，对于任意的初始值x₀，是否都能保证迭代结果收敛到X呢？下面我们将通过代数解析来探讨其收敛性。
将牛顿迭代式写成不动点迭代形式，可以应用不动点迭代的收敛原则。只要证明在根附近的迭代函数是一个压缩映象，就可以证明其收敛性。当根是单根且f'(根)≠0时，我们可以得知γ(x)在根附近的领域内是一个压缩映像。
牛顿迭代法的局部收敛性较强。只有当初值充分接近真实解时，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，我们需要增加使序列收敛的充分条件。
在具体应用中，我们可以利用牛顿法来求解各种方程。例如，对于给定的正数a，我们可以建立关系式来求解f(x)=0的正数解，即算术平方根。由于当x>0时，f'(x)=2x>0且f''(x)=2>0，因此对于满足一定条件的初始近似值x₀，迭代公式产生的序列将收敛于√a。