在高考恢复之初，命题者们常常会出一些富有挑战性的题目来考验考生的思维深度和广度。今天我们要探讨的正是这样一道题目。
问题：证明tan1°是无理数
我们都知道，在数学中，角α的正切值tanα表示的是直角三角形中角α的对边与邻边的比值。
tanα的定义： tanα等于对边与邻边的比值，用数学符号表示即为 tanα=a/b，其中a和b分别代表直角三角形的对边和邻边长度。
理解了这个基本概念后，我们再来看这个证明题。首先得明白，1°这个角度并不是一个特殊角，因此在考场上想要准确求出其正切值是非常困难的。然而这道题目并不是要求我们求出tan1°的具体数值，而是要证明tan1°是无理数。
无理数的定义：无法用两个整数的比来表示的实数即为无理数。那么我们如何证明tan1°也是无理数呢？这就用到了反。
反的应用：我们假设tan1°是一个有理数，然后通过一系列的数学推导，最后得出一个与已知事实相矛盾的结论，从而证明我们的假设是错误的，即tan1°实际上是无理数。
让我们来详细地阐述这个过程。
我们需要了解有理数的性质，即任何两个有理数通过四则运算得到的结果仍然是有理数。这是一个基础的数学原理，也称为有理数的封闭性。
接着，我们利用正切的两角和公式，通过反复运用这个公式，推导出tan2°，tan3°，直至更高角度的正切值。由于我们假设tan1°是有理数，根据有理数的封闭性，我们可以推导出所有通过两角和公式得到的角度的正切值都是有理数。
但是我们知道，tan30°的值是√3/3，这是一个无理数。如果我们认为tan30°也是有理数的话，就会与我们之前的推导结果产生矛盾。这个矛盾就证明了我们的假设——tan1°是有理数——是错误的。我们得出结论：tan1°实际上是无理数。
整个证明过程逻辑严密，环环相扣，展现了数学思维的魅力。这样的证明方式不仅考验了我们的数学基础知诀窍是设了换元法：以定有同样的相似处给我们带来的快乐无法用言语形容吧？这巧妙无比的思维流程就如同一首悦耳的诗篇一样赏心悦目呢！