在探索高等数学世界的过程中，老黄不断钻研、深挖数学领域的各个秘密。此刻，他将研究目光聚焦在推导正切或余切的正整数幂的不定积分公式上。教材只给出了递推公式，对于具体的公式的最后形态则没有详述。
针对正切正整数幂的不定积分，其递推公式显得相当直观：
In=1/(n-1) × (tanx)^(n-1) - I_(n-2)。
此公式的推导，是利用了tan^2=sec^2-1的数学原理。当从n个tanx中挑选两个，并将其写作tan^(n-2)×(sec^2-1)的形式后，拆解成两个不定积分的和，就很容易得到上述的递推公式。
进一步地，当对I_(n-2)运用同样的递推公式，可以得到关于I_(n-4)的公式形式。这样的推导过程会一直持续下去，直到最后的I3和I2等各项。特别地，在公式的最后阶段，还需仔细考虑n的奇偶性，这是因为在整个推导过程中存在着对符号的微妙处理，稍不注意就可能出错。
例一：求解∫(tanx)^9dx的过程。
由于公式复杂，初学时可以借助抄写公式并代入n=9（奇数）和m=4来进行计算。展开求和公式后，得出的结果验证无误。
之后，老黄转向了对余切n次方不定积分公式的探究。
探究二：Jn=∫(cotx)^ndx（其中n>2）的推导虽然与正切类似，但最后得到的公式中符号的确定依然是个难题。这一部分的内容无法用语言完全解释清楚，需要读者自行思考为何最后的符号性质会如此。
通过另一个例题来验证这个公式：
例二：求解∫(cotx)^8dx的过程。
这里n=8为偶数，m依然取4，直接代入公式进行计算。验证结果正确后，老黄继续深入探讨更复杂的练习题。
练习题：求∫((tanx)^6-(cotx)^7)dx的过程。
这道题目是老黄为了进一步检验公式的正确性而设置的练习题。经过仔细推导，老黄发现并修正了一处错误，这体现了他对数学研究的严谨态度。