定义：当函数Z = f(x，y)在某一点(x0，y0)的附近领域内有定义，且当x在x0处有增量时，相应的函数有增量f(x+Δx，y) - f(x，y)，如果存在极限，则此极限被称作函数f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数。记作
若函数f(x，y)在区域D内任一点(x，y)对x的偏导数均存在，那么这些偏导数就构成了一个关于x、y的函数，它被称为函数Z = f(x，y)对x的偏导函数。
类似地，可以定义函数Z = f(x，y)对y的偏导数。
多元函数的偏导数简称为偏导数。
上述定义意味着，在求多元函数对某一自变量的偏导数时，可以将其他自变量视为常数，并直接应用一元函数的求导公式，即复合函数的求导法则来进行计算。
求Z = f(x，y) = 2x^2 + 3xy + 在点(1，2)处的偏导数。
解：将y视为常数，对x求导得：f_x(x, y) = 2x + 3y。将(1, 2)代入得f_x(1, 2) = 8。
将x视为常数，对y求导得：f_y(x, y) = 3x + 2y。将(1, 2)代入得f_y(1, 2) = 7。
在一元函数中，若某点可导则该点连续。对于多元函数而言，即使各偏导数存在也不能保证函数在该点连续。
证明以下函数
由于上述函数的极限不存在，因此f(x, y)在点(0, 0)处不连续。
高阶偏导数
设函数f(x, y)在区域D内具有偏导数fx和fy。
那么在D内，fx和fy都是x和y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们为函数Z = f(x, y)的二阶偏导数。
根据对变量求导次序的不同，有四个二阶偏导数。其中第二、第三两个偏导数被称为混合偏导数。
类似地，可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。我们将二阶及以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例
定理若函数f(x, y)的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，则在该区域内fx_fy等于fy_fx。
推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关。
高阶导数实际上就是一元函数的高阶求导。
1. Z = f(x, y)在点P的梯度
梯度为偏导数的向量形式，gradf(x, y) = fx·i + fy·j（i和j分别表示x轴和y轴的方向向量）。
2. u = f(x, y, z)在点Q的梯度
gradf(x, y, z) = fu·i + fv·j + fk·k（i、j、k分别代表x轴、y轴、z轴上的单位向量）。
例