例一
在三角形ABC中，点O位于AC边上并可自由移动。通过点O绘制一条直线MN，使其与BC平行。设MN与∠BCA的平分线交于点E，同时与∠DCA的平分线交于点F。接下来我们将逐步推导并证明两个问题：
（1）证明EO等于FO。
（2）探究点O移动到何种位置时，四边形AECF会成为一个矩形，并给出严格的证明过程。
【详细解析】
本题主要考察了矩形的判定、平行四边形的性质、平行线性质以及角平分线的定义。这些知识点主要测试了学生的逻辑推理能力。
（1）由于CE平分∠BCA，因此∠1与∠2是相等的。又因为MN与BC平行，根据平行线的性质，我们知道∠1与∠3也是相等的。通过等量代换，我们可以得出∠2与∠3相等。进而我们可以推导出OE与OC相等，同样的逻辑也适用于OF，所以OE等于OF。
（2）当OA等于OC时，我们可以证明四边形AECF是一个平行四边形。再进一步，由于CE和CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，我们可以轻易证明∠ECF是90度。根据矩形的判定条件，我们证明了四边形AECF是一个矩形。
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知识模块目录：
1. 二次根式的定义及有意义条件练习题150道含解析
2. 二次根式的性质与化简练习题150道含解析
3. 最简二次根式练习题50道含解析
18. 矩形的性质详解及练习题150道含解析
19. 矩形的判定方法详解及练习题150道含解析