关于平面图形与变换的思考
让我们思考一下，什么样的图形具有这样的特性？一条水平线段或水平直线无疑是一个明显的例子。这类线形元素仅具有长度维度，没有厚度，因此无论怎样压缩，其本质形状都不会发生变化。
相较之下，竖直线段在垂直方向上的压缩则会使其长度变短，显然不符合我们的讨论范围。如果我们把视线投向更广阔的平面图形世界，就会发现一些有趣的规律。
当一条竖直线段上下无限延伸，变成竖直直线或竖直射线时，它便具有了抵抗压缩的特性。不仅如此，由多条平行竖直直线或无数条平行竖直直线构成的平面图形也拥有同样的性质。
除了这些显而易见的图形外，我们是否还能发现其他具有类似特性的平面图形呢？事实上，高中数学中指数函数的图像就是一个很好的例子。
让我们以坐标变换来探究这一现象的数学本质。考虑坐标(x, y)经过变换变为(x, ay)，其中a是一个小于1的正数。这样的坐标变换实质上将函数y=f(x)的图像转换为函数y=af(x)的图像。特别是在指数函数中，这一过程显得尤为有趣。
在此过程中，ln a代表着满足e的x次方等于a的实数x。值得注意的是，新的函数图像实际上可以通过将旧图像向右平移|ln a|得到。这是因为两个函数y=f(x)和y=f(x+α)的图像仅存在水平方向的平移差异。
这种平移并不会改变图像的形状，因此我们称这种坐标变换(x, y)→(x, ay)不会改变指数函数图像的形状。这种有趣的现象甚至有些违反直觉，我将其称为“指数函数的图像悖论”。
我们再总结一下。在数学中，加法通常对应着平移变换，乘法则对应着伸缩变换。而指数函数以其独特的方式将加法转化为乘法，使得其图像的每个伸缩变换都与一个平移变换的效果相似。