一、知识点归纳总结
1. 勾股定理
内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示方法：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
2. 勾股定理的证明
3. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形。
4. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，可以求第三边长；
②知道直角三角形一边长，可得另外两边之间的数量关系；
③可运用勾股定理解决一些实际问题。
5. 勾股定理的逆定理
若三角形三边长a、b、c满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的重要方法。
6. 勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数。
二、常见题型归纳总结
（这里列举部分常见题型，并简要分析。）
题型一：直接考查勾股定理
【例题】在△ABC中，∠C=90°，已知两直角边长，求斜边长。分析：直接应用勾股定理计算。
题型二：应用勾股定理建立方程
【例题】已知直角三角形的周长，求其面积。分析：利用勾股定理列方程求解。
题型三：勾股定理在实际问题中的应用
【例题】如两棵树的高度和水平距离，求小鸟至少需要飞过的距离。分析：建立数学模型，应用勾股定理计算。
三、巩固训练
以下为部分巩固练习题目：
1. 一架方梯靠墙问题，涉及梯子顶端下滑和底端水平滑动的情况，利用勾股定理计算相关距离。
2. 关于两个小集镇在河流同侧的问题，选择合适的位置建设水厂，使得铺设水管的费用最节省。