平面向量基本定理
在同一个平面内，若两个不共线的向量存在，则对于此平面内的任意向量，总有一对实数使其成立。当向量不共线时，我们称它们为此平面内所有向量的一个基底。
2. 定理的实质
平面向量基本定理告诉我们，在给定基底的前提下，平面内的任意向量都可以用此平面内任意不共线的两个向量线性表示。这就是平面向量基本定理的核心思想。
平面向量的坐标运算
1. 平面向量的正交分解
将一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，这个过程叫做平面向量的正交分解。
2. 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的单位向量分别为基底。对于此平面内的任意向量，由平面向量基本定理可知，总有一对实数使其成立。我们将这有序数对称为该向量的坐标。
平面向量加、减运算的坐标表示
已知两向量的坐标，向量之和的坐标等于它们的对应坐标之和，向量之差的坐标等于它们的对应坐标之差。这表示一个向量的坐标可通过表示此向量的有向线段的起点和终点坐标之差来获得。
平面向量数乘的坐标运算
当对平面向量进行数乘运算时，其坐标运算有一定的规律。具体结论为...
平面向量共线（平行）的坐标表示
任给两向量的坐标，若它们共线（即平行），则存在一个实数k，使得一个向量的坐标是另一个向量坐标的k倍。反之亦然。
平面向量数量积的坐标运算
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。
向量模、两点间距离及向量夹角公式
向量模公式：...
两点间距离公式：任给两点A和B，它们之间的距离可通过两点的坐标来计算。
向量的夹角公式：若两非零向量存在，和是与的夹角，则它们的夹角可通过它们的坐标来计算。
向量垂直的充要条件：两非零向量垂直当且仅当它们的数量积为0。
平面向量坐标运算的伟大之处
平面向量的坐标运算是数学理论中的重要基石，它不仅在数学中占据重要地位，还在实际生活中展现出强大的应用价值。其伟大之处体现在以下几个方面：
一、数学理论的基石
通过简洁明了的坐标运算规则，平面向量坐标运算能够清晰地表示向量的各种关系和性质，成为解决数学问题的重要工具。
二、强大的抽象能力
平面向量坐标运算是沟通代数与几何的桥梁，为不同领域提供了统一的数学语言和工具。它在物理学、计算机科学、工程科学、经济学等多个领域都有广泛应用。
三、高效的算法实现
平面向量坐标运算具有高效的算法实现方式，可以快速进行计算和处理。它在图像处理、深度学习等计算机科学领域有着重要的应用。
四、教育价值
平面向量坐标运算是数学教育的重要内容之一，有助于培养学生的数学素养和思维能力。它促进跨学科学习，帮助学生将数学知识与其他学科知识相结合。