先前我们已经探讨了手算方与开立方的方法，现在让我们深入理解其背后的原理。掌握了这一原理，求解高次方根的方法也将变得清晰易懂。
一、方的原理
以完全平方展开式为例：
（α+b）² = α² + 2αb + b²
将式子稍作变换，可以得到：α² + 2(αb + ½b²)
这里的变换揭示了求首位根需要除以2（或减半）的原因。这样的处理便于我们进行首位根与对应段的计算。在后续的各位根计算中，我们都将前面已求出的各位根视为一个整体进行计算。
二、开立方的原理
以完全立方展开式为例：
（α+b）³ = α³ + 3α²b + 3αb² + b³
将式子变换为：α³ + 3(α²b + αb² + ⅓b³)
这里提到了求出首位根后余数除以3的原因。这样的处理不仅避免了后续两项再乘3的麻烦，还方便了我们用首位根的平方去除对应段来估算下位根。
三、开四次方的方法
按照类似的方法，我们可以推导出开四次方的计算过程。例如，对于（α+b）⁴的展开式进行变换，可以得出求各位根的规律。
1. 从个位往前（或后）四位一组进行分段。
2. 求得最前一段的四次方根作为首位根。
3. 用对应段（最前一段）的后位减去首位根的四次方，再将余数除以四。
接下来的步骤中，我们将以类似的方式估算出下一位根。
四、开五次方及更高次方的求法
对于开五次方及更高次方，我们可以参照杨辉三角列出相应的展开式，并按照类似的规律进行求解。基本方法大同小异，不再赘述。
无论是方、开立方还是开更高次方，其背后的原理都是通过数学公式的变换和运算来求解。掌握这些原理和规律，将有助于我们更高效地进行数学计算。