你可曾记得，教材中何时不再提及那三垂线的身影？
据说，为了降低辅助线的难度，并提前推动几何代数化的进程，做出了这样的调整。
现今的立体几何，向量如专家所愿般被广泛应用。
曾经优雅的作图思路，如今似乎已被固定的计算步骤所取代。
其实，我仍怀念那立体几何中最本质的逻辑推理，特别是三垂线定理的存在。
该定理曾是公认的空间平面化最佳纽带。
向量顺应了新的时代潮流，三垂线则显得有些无奈。
立体几何再难重现昔日辉煌的空间想象，高手们也多了许多寂寞的时光。
或许多年以后，新老教师都会忘却这段往事，但对我来说，70后的我依旧如初。
即使沧海桑田，三垂线始终铭刻在我心间。
三线概念（如图所示）
① 垂线：图中PO（点O为垂足）
② 斜线：图中PA（点A为斜足）
③ 射影：图中OA（OA在平面内）
文字表示
① 平面内的一条直线，若与该平面的某条斜线在面内的射影垂直，那么它也与该斜线垂直。
② 当PO垂直于平面α，PA与平面α相交于点A，若直线l位于平面α内且l垂直于OA，则l也垂直于PA。
图形表示（如图所示）
定理概括
平面的斜线与其在面影的垂线，若有平面内的直线与之垂直，则另一条斜线也与该直线垂直。
如此一来，我们无需再纠结谁是定理，谁是逆定理。
定理应用
从两个定理的推理过程来看，这其实是线面垂直与线线垂直之间相互导出的过程。
虽然过程稍显复杂，但若将其作为一个定理来应用，我们只需记住其图形结构，便可省去中间繁琐的环节。
对学生而言，这难道不是一件令人欢欣鼓舞的事情吗？
证明方法
一：利用线面垂直证明。
已知：如图所示，PO在α平面上的投影OA垂直于直线a，需证明OP⊥a。
二：利用向量证明三垂线定理。
已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在α平面内的射影，b位于α平面内且垂直于OA，需证明b垂直于PA。
注意事项
1. 三垂线定理描述的是PO（斜线）、AO（射影）、a（直线）之间的垂直关系。
2. a与PO可以相交或异面。
3. 三垂线定理的实质是空间内的一条斜线与平面内的一条直线的垂直判定定理。应用该定理的关键是找到平面的垂线。射影则是由垂足和斜足确定的第二位因素。
记忆口诀
"三垂线定理：线射垂，线斜垂"；
"三垂线逆定理：线斜垂，线射亦垂"。
温馨提示
自2012年起，高三垂线定理已不能作为推理论证的依据，如需使用需进行证明。但此定理仍能帮助我们快速找到解题思路。
建议有能力的学生一定要掌握这一知识点。