换元积分法详解
第一类：基于微分公式的凑微分法
定理1： 若f（u）具有原函数，且u=ψ（x）可导，则换元公式为：
∫f[ψ（x）]ψ’（x）dx = [∫f(u)du]u=ψ（x）。
步骤详解：
1. 将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分。
2. 引入中间变量进行换元。
3. 利用已知的基本积分公式计算不定积分。
4. 还原变量，得到最终结果。
常用凑微分公式示例：
(1) (1/√x)dx = 2d(√x)。
(2) (1/x²)dx = -d(1/x)。
(3) (1/x)dx = d（ln|x|）。
...（其他公式略）
第二类：基于单调可导函数的换元法
定理2： 设x=ψ（t）是单调、可导函数，且ψ’（t）≠0。若f[ψ（t）]ψ’（t）具有原函数，则换元公式为：∫f（x）dx = ∫[f[ψ（t）]ψ’（t）dt]ψ-1（t），其中，ψ-1（t）是x=ψ（t）的反函数。
分部积分法应用
定理： 设u=u(x)，v=v(x)具有连续的导数，则∫udv=uv-∫vdu。
补充应用技巧：
当被积函数是特定类型的乘积时，如幂函数与正余弦或指数函数的乘积，需注意幂函数与求导操作的前后顺序。有时需要灵活运用循环法进行积分。在求解过程中，有时需要结合换元法和分部积分法。
有理函数的积分及三角函数有理式的处理
三角函数有理式的处理： 并非所有三角函数有理式都需要转化为有理数函数的积分，需根据具体情况选择合适的方法。通过适当的变换，如将sinx、cosx转化为tan（x/2）的函数，并进行u=tan（x/2）的替换，可以简化计算过程。