图一
泰勒级数详解
图二
图三
通过观察图二和图三,我们可以明确了解到函数p(x)的具体形式已经给出。我们的主要任务就是要将f(x)以p(x)的形式表达出来。
在p(x)中,系数ai是一个未知数。为了使f(x)能够以p(x)的形式表达,这两个函数必须尽可能地相吻合。从图三中我们可以看出,当f(x)与p(x)的高阶导数相等时,两条曲线将会无限趋近于一致。
图四
随后是
图五
结合图四的内容,我们可以得出:
图六
图七
如果考虑到误差项的存在,那么对于麦克劳林级数而言:
常用函数的麦克劳林公式是这样的:
以上便是大致的证路:
1. 首先确定一个多项式P(x),然后假设要展开的函数 f(x) 与这个多项式的各阶导数相等。
2. 为了建立起多项式系数和函数 f(x) 各阶导数之间的联系,我们需要构造一个特定的多项式(如图四所示)。