关于双曲线的性质及其应用
例1：双曲线意一点与两焦点F、F构成的焦点三角形有其独特性质。当过双曲线（a>0，b>0）的焦点F的弦AB长为m时，焦点三角形△ABF的周长为4a。
分析：根据双曲线的定义，我们知道在焦点三角形中，从双曲线一点到两焦点的距离之差为常数2a。由此，我们可以推导出上述结论。
解：设F、F为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的性质，我们可以推导出△ABF的周长为4a+2m，因此答案选B。
例2：对于椭圆和双曲线共焦点F、F的情况，若P为两曲线的一个交点，我们要求cos∠FPF的值。
解：利用椭圆和双曲线的定义，我们可以求出焦半径，再利用双曲线焦点三角形的余弦定理，可以得出cos∠FPF的值，答案选B。
例3：给出双曲线的两个焦点和点P在双曲线上满足的条件，要求出∠的具体值。
解：假设点P在双曲线的右支上，通过计算，我们可以得出在焦点三角形中cos∠FPF=0，因此∠=90°。
例4：已知双曲线的两个焦点和点P在双曲线上满足的角条件，求△FPF的面积。
解：假设点P在双曲线的右支上，根据给定条件和双曲线性质，我们可以推导出△FPF的面积。
例5：过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦PQ，并通过其他条件求出双曲线的离心率。
解：设双曲线的左、右焦点分别为F、F，通过计算和利用双曲线性质，我们可以求出离心率。
例6：探讨在双曲线的左支上是否存在一点P，使得P到两焦点的距离d与某值的等比中项关系。若不存在，请说明理由。
解：经过分析，我们发现无法在双曲线的左支上找到满足条件的点P，因此得出不存在这样的点的结论。