请看下面的两个向量，分别是（3，-1）和（-1，3）。我们将其以图形的形式进行展示：
接下来，让我们进行一个小小的互动。请保持向量（3，-1）的Y轴坐标不变，随意改变其X轴坐标。这就像是在图示中让一个箭头在直线Y=-1上滑动。对于向量（-1，3），则固定其X轴坐标不变，并随意改变Y轴坐标，使其在直线X=-1上滑动。问题是，如果这两个箭头的滑动方向和滑动的数值是相同的，那么它们所代表的两个向量线段是否可能变为共线？
如图所示，滑动后的向量线段分别是（3-t，-1）和（-1，3-t）。为了判断这两个向量是否共线，我们只需令它们的斜率相等。即，通过等式（3-t）/（-1）= -1/（3-t），我们可以找出是否存在这样的t值。进一步解析，我们将得到相应的答案。
谈及此处，我们不得不引入特征值和特征向量的概念。
设存在一个n阶方阵A。若有一个数λ和n维非零向量x使得关系式成立，则这个数λ被称为方阵A的特征值，而非零向量x则称为对应于该特征值的特征向量。
这一关系式可表达为特定形式。可以看出，特征值与之前提到的未知数有着密切的联系。
我们面对的是一个包含特征值和特征向量两种未知量的齐次线性方程组。由于方程中涉及到非零向量，因此会存在行列式的计算。
这其中的奥妙之处在于，齐次线性方程组内还隐藏着一个一元多次方程，这极大地简化了整个求解过程。
以一个具体例子来说明：求矩阵A的特征值和特征向量。
解：首先求出矩阵A的特征多项式。接着解得A的特征值。对应地，我们可以求得基础解系。我们得到了对应于各个特征值的特征向量。
特征值与特征向量的应用场景广泛，其中结构抗震计算就是其一。当我们面对无阻尼多自由度振动方程时：
假设其解具有某种形式，将此解代入振动方程中，经过一系列化简，我们实际上是将求解振动方程的问题转化为了求特征值与特征向量的问题。