由一组变量x1，x2，…，xn构成的数学表达式，当其所有常数项均为零时，我们称之为齐次方程。
显然，x1 = 0，x2 = 0，…，xn = 0是该方程的零解。但我们的目标是寻找非零解。
齐次方程的非零解详解
例题：求出下列齐次方程组的非零解。
解答：我们将系数矩阵与常数项组合成增广矩阵，并执行行变换，直至其成为阶梯矩阵形式。
在此例中，主变量为x1，x2和x4，因此我们将x3设定为一个参数，例如令x3 = t。
依据变换后的阶梯矩阵，我们得出通解为：
x1 = -t，
x2 = t，
x3 = t，
x4 = 0。
当t取值为1时，我们得到一个具体的非零解：
x1 = -1，
x2 = 1，
x3 = 1，
x4 = 0。
这一非零解的存在依赖于参数t的存在。因为此例中有四个未知数但只有三个方程（因此最多只有三个主要变量），表明存在一个非主变量（本例中为x3）。这一结论可推广至以下基本定理的证明。
基本定理：当一个齐次线性方程组的变量数多于方程数时，它拥有无穷多个非零解。
证明过程如下：设m个方程对应有n个变量，若n > m，则表示有n个变量中存在r个主变量和n-r个非主变量（即有n-r个参数）。根据前提条件m < n，我们可以得出r < n。又因为r最多只能等于m（因为行最简阶梯形增广矩阵R中最多有m个主元1），所以r必定小于n。
线性组合与基本解的概念
假设x和y是元素数量相同的列。在初等行运算中，它们的和x+y是通过相应元素相加得到的。如果k是一个数（标量），那么kx的定义就是将x的每一项都乘以k。具体来说：
例题：判断v是否是x、y、z的线性组合。
解答：要确定v是否可以表示为x、y、z的线性组合，我们需要找出是否存在数字r、s和t，使得v = rx + sy + tz。这要求相应的项相等，从而形成线性方程组。
通过高斯消元法解此方程组，我们得到解为：
r = 2−k,
s = -1−k,
t = k。
其中k是一个参数。若取k = 0，我们可以看到v可以表示为x、y和z的线性组合，具体为v = 2x - y。