在数学、物理学及工程力学等多领域中，矢量扮演着一个极为重要的角色。通俗地讲，矢量即带有方向的量，譬如力F及速度v等均需进行矢量分割。尤其在工程力学的世界里，两个不同方向的量，其性质可能有着本质的差异。
以下图示展示了对曲杆进行内力分析的微分单元过程。
在此微分单元的左侧，轴力N在切向上的分矢量Nsin θ/2与剪切力Q的分矢量Qcos θ/2共同构成剪切力的合力；反之亦然。轴力与剪切力的这种分割关系在微分单元的右侧以增量形式展现，如轴力有微增量dN，而dN=q(s)rdθ，其中rdθ代表曲杆的微弧长dl的替代。
微积分正是应曲线研究之需而诞生的。在数学世界里，曲线微增量dl虽难以直接取得具体值，但可转化为dl=rdθ的形式，再进一步换算为X轴和Y轴的分矢量rcosθdθ和rsinθdθ。这样的转换使得我们在运用微分积解决问题时，经常需要求导数或进行积分运算。
三角函数，作为微积分中最为关键的基本函数之一，在十六个简单导数中就有十个与之相关。
鉴于此，我们来深入探讨这十个三角函数导数的求导过程。
1. 正弦函数的导数：
(sin x)' = lim(h→0)[sin(x+h)-sin x]/h = lim(h→0)cos (x+h/2)lim(h→0)[sin h/2]/h
2. 余弦函数的导数：
(cos x)' = lim(h→0)[cos(x+h)-cos x]/h = lim(h→0)-sin (x+h/2)lim(h→0)[sin h/2]/h
3. 正切函数的导数：
(tg x)' = (sin x/cos x)' = (cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x = 1/cos^2 x = sec^2 x
4. 余切函数的导数：
-1/sin^2 x = -csc^2 x
5. 正割函数的导数：
(sec x)' = sin x/cos^2 x = sec xtg x
6. 余割函数的导数：
(csc x)' = -cos x/sin^2 x = -csc xctg x