在之前的章节中，我们探索了导数的概念及其应用，特别是在理解瞬时变化率方面，导数展现出了其强大的作用。紧接着，我们引入了偏导数的概念，它借助导数的定义，研究了多元函数中偏增量的变化。
偏导数的定义是这样阐述的：对于函数z＝f(p)，其中p由x和y决定。偏导数主要反映了函数f(p)沿坐标轴方向上的变化速率。
接下来，让我们深入探讨方向导数的定义。假设函数z＝f(x，y，z)在点P(x0，y0，z0)的邻域内有定义。当考虑一个非零向量l，其单位向量（cosα，cosβ，cosγ）与l同方向。在这种情况下，存在以下极限情况：
如果我们把上述极限看作一个函数，那么这个函数就可以被称作是在点P处沿方向l的方向导数。
值得注意的是，根据定义，函数f(x，y，z)在点P沿着x轴正向、y轴正向和z轴正向的方向导数分别为fx、fy、fz。相应地，沿着负方向的方向导数则是这些值的相反数。方向导数可以被视为fx、fy、fz的扩展概念。
继续我们的学习之旅，有一个重要的定理需要掌握：若函数f(x，y，z)在点P(x, y, z)处可微，那么该函数在任意方向l的方向导数存在，并且遵循特定的表达式。
在掌握了方向导数的概念和定理后，我们通过解答几个例题来加深理解。在求解过程中，关键是要确定l的方向，即PQ向量与PQ向量同方向的单位向量。然后求出x和y的偏导数，将某点代入偏导数公式中，求得偏导数值。最后代入方向导数公式中即可得到结果。
在学习过程中，还有两个值得注意的问题。即使函数在某点可偏导，也不意味着该点的方向导数都存在。例如当某些特定条件满足时，方向导数可能为无穷大。即使函数在某点的方向导数都存在，也不意味着该点处函数连续。这表明函数的可微性并不是其沿任意方向方向导数存在的必要条件。