题目1：在三角形ABC中，AH是角BAC的平分线，同时BD与CE等长，P是DE的中点，Q是BC的中点。我们需要证明：线段PQ与AH平行。
解题思路解析：
连接BE并取其中点M。接着，连接MH并延长至交BC于N，再连接MP并延长至交AH于Q。根据中位线定理，在三角形EDB中，PM为中位线，所以PM等于BD的一半且与DB平行。由此可知FN与AB平行。再根据角的关系，我们可以证明∠BAC等于∠NFC，进而证明∠NQH与∠BAH相等。类似地，在三角形BEC中，MQ为中位线且与EC和AC平行。通过一系列的角关系推导，我们可以证明PQ与AH平行。
题目2：圆O1穿过圆O的中心O，并与圆O在A、B两点相交。C是圆O1上的任意一点，CA的延长线与圆O相交于D，CB与圆O相交于E。我们需要证明：AE与BD平行。
解题步骤详解：
连接OA、OB、OD。由圆的基本性质知，∠ODB与∠OBD相等，同样∠OAD与∠ODA也相等。利用圆内接四边形的外角等于内对角原理，我们可以得到∠CAE与∠DBC相等，以及∠DAO与∠CBO相等。进一步推导，我们可以得到AE与BD平行。
题目3：过圆O外的点P作割线PAB和PEF，分别与圆O相交于A、B和E、F。PB的垂直平分线DE与圆O相切于点E。我们需要证明：DE与BF平行。
详细解答：
先连接BE。由于PB的垂直平分线为DE，所以∠BED与∠PED相等。根据弦切角定理，我们可以得到∠BED与∠BFE相等，进而得到∠PED与∠BFE相等，从而证明DE与BF平行。
题目4：在锐角三角形ABC中，AD、BE、CF是高，H为垂心。取AH的中点为O，射线EO交AB于点P，DF交BE于点Q。我们需要证明：PQ与AB平行。
解题过程分析：
首先连接EF。由于∠ADC与∠AFC都是90°，所以A、F、D、C四点共圆。通过一系列的角关系推导和共圆性质，我们可以证明P、F、Q、E四点也共圆。进一步推导，我们可以证明PQ与AD平行。