考研攻略：掌握微分方程的解法，信号与系统高分不是梦
在考研的征途上，你是否正被信号与系统中的微分方程问题困扰呢？不必焦虑，让我为你揭开那些难题的面纱，通过一些经典的解法，帮助你在复习过程中更加畅通无阻！
在信号与系统的研究中，微分方程起着至关重要的作用。它们描绘了连续时间系统的动态特性，揭示了系统内部状态变量随时间的变化规律。这些微分方程不仅是分析系统稳定性的关键工具，也是探究系统动态响应的重要途径。
基础解法：分离变量法
这是一种非常基础但非常实用的解法。当微分方程可以重写为y′=f(x)g(y)的形式时，你可以尝试分离变量，即对等式两边进行积分。这种方法特别适用于一阶线性微分方程以及部分可以分离变量的非线性微分方程。
具体步骤如下：
1. 将微分方程中的y′和y分离。
2. 对两边同时进行积分，注意保留积分常数。
3. 解出y关于x的表达式。
高效工具：拉普拉斯变换法
对于线性时不变系统（LTI）的微分方程，拉普拉斯变换是一个强大的求解工具。通过将时域微分方程转化为复频域的代数方程，可以大大简化求解过程。
步骤如下：
1. 对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换。
2. 利用拉普拉斯变换的性质（如线性性、时移、频移等）来化简方程。
3. 解出变换后的函数Y(s)。
4. 对Y(s)进行拉普拉斯逆变换，得到原始时域解y(t)。
高效策略：特征方程法
对于二阶及以上的线性微分方程，特征方程法是一种非常高效的解法。通过求解特征方程，可以得到系统的特征根，进而写出微分方程的通解。
步骤概览：
1. 通过特征方程求解系统的特征根。
2. 利用特征根构建微分方程的通解。