我们熟知阶乘的基本概念，对于正整数n，其阶乘的定义如下，以符号n!表示：
n! = 1 × 2 × 3 × … × n
对于n=1, 2, 3等正整数，阶乘的算法十分直观。
我们容易发现一个重要的规律：
(n+1)! = 1 × 2 × 3 × … × n × (n+1)
= n! × (n+1)
(n+1)! = n! × (n+1)
这一规律对于n=0也同样适用，我们定义0!为：(0+1)!/(0+1) = 1!/1 = 1。
对于0和正整数的阶乘，理解起来十分简单明了。但在实际学习中，我们偶尔会遇到非整数的阶乘问题。
那么，0.5的阶乘等于多少呢？这似乎是个难题，因为它涉及到了非整数的阶乘计算。
为了解决这个问题，我们引入了著名的伽马函数。
伽马函数Γ(α)：
Γ(α) = ∫(从0到+∞)[x^(α-1) × e^(-x)]dx，其中α＞0。
为了更易于理解，我们可以借助分部积分法来进行一些推导：
分部积分法的公式：
u × v = ∫(u' × v)dx + ∫(u × v')dx
以及它的变形形式。
接下来，我们回到伽马函数的推导上。
以Γ(α)的常见推导为例，当α=1时，有：
Γ(1) = ∫(从0到+∞)[e^(-x)]dx
通过计算积分，我们得到Γ(1)的值为1。
对于n∈N（自然数集），伽马函数有如下递推关系：
Γ(n) = ∫(从0到+∞)[x^(n-1) × e^(-x)]dx
以及Γ(n+1)的推导等等。
通过一系列的推导和计算，我们得到一个重要的结论：
对于任意实数α＞-1，都有Γ(α+1) = α × Γ(α)。
特别地，当α为正整数时，Γ(α+1)简化为α!。
于是，我们得到了一个全新的阶乘定义：对于大于-1的实数α，其阶乘可以定义为Γ(α+1)。
例如：(1/2)! 可以被定义为 Γ(3/2)，并通过高斯正态函数的定积分来求解。
(1/2)! 的计算结果为√π/2，约等于0.8862...
至此，我们不仅重新认识了阶乘的概念，还学会了如何计算非整数的阶乘。这是数学中的一大突破。