在数学中，我们常常需要对函数进行求导操作，无论是加减、乘法、除法还是复合函数，都有其特定的求导规则。
①加减法求导：当两个函数相加减时，其导数等于这两个函数导数的相应加减。即，如果 y=f(x)±g(x)，那么 y' = f'(x)±g'(x)。
②乘法求导：对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的值乘以第二个函数的导数，再加上第一个函数的导数乘以第二个函数的值。形式化地表示，如果 y=f(x)×g(x)，则 y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
③商求导：对于两个函数相除的情况，其导数有一个特殊的公式。具体地，如果 y=f(x)/g(x)，那么 y' = (f'(x)g(x) - g'(x)f(x)) / (g(x))^2。
④复合函数求导：当一个函数的自变量是另一个函数的输出时，我们需要使用复合函数的求导法则。即，如果 y=f(g(x))，那么 y' = f'(g(x))×g'(x)。
对于①dy/dx的解释：这是通过定义差商极限得到的。将y表示为函数值的增量的形式，再取极限即可推导出导数的定义式。即 dy/dx 是由函数值的变化量与自变量变化量之比取极限得到的。
乘积的求导可以通过设定 a=f(x)，b=g(x)，然后利用极限的思想来推导。首先将乘积展开为差的形式，再忽略两个极小量的乘积，最后取极限即可得到 dy/dx = ab' + ba'。
关于除法的求导可以转化为乘法的形式进行证明。即将除法写为乘法与倒数的形式，再利用乘法的求导法则和倒数的求导法则来推导。
对于④复合函数的求导证明：可以通过设定 a=g(x)，y=f(a)，然后利用极限的思想和链式法则来推导。即通过设定自变量变化引起的中间变量变化和最终函数值的变化的关系来证明。
还有一些特殊形式的函数求导，如 y=x^a 的导数为 dy/dx = ax^(a-1)。这里可以通过二项式定理的展开来推导。同样地，对于 y=1/x 的商求导，其导数为 -1/x^2。