追溯知识之路(椭圆性质下的最值计算)
以下，我们将共同探索利用椭圆定义求取最值的策略。
椭圆的定义是这样阐述的：椭圆上的任意一点p，到其两个焦点f1、f2的距离之和恒定，且等于常数2a。
在处理椭圆相关问题时，尤其是要求取最值且涉及椭圆上点到焦点距离的线段时，我们常常会借助椭圆的这一基本定义进行问题转化。
比如这样一道题目：给定椭圆的一个左焦点f，以及椭圆上的一个动点p。已知点a的坐标为(1, 2)，我们需要求出pa与pf的和的最大值。
仔细观察题目，我们不难发现所求的线段中pf正是椭圆上的点p到焦点f的距离。面对这种情况，我们自然而然地想到利用椭圆的定义，引入另一个焦点f'作为右焦点。这样，pf加上点p到右焦点f'的距离就等于常数2a。
根据题目信息，我们知道a²的值为9，从而可以推算出a=3，进而得到2a的值为6。这样，我们就可以用6减去pf'来代替pf。换句话说，我们所求的最大值其实就是求pa与6减去pf'的最大值。
那么，什么时候能够达到这个最大值呢？我们可以通过连接pf'和pa，将它们与af'构成一个三角形来寻找答案。在三角形中，任意两边之差总是小于第三边。为了取得最大值，我们需要使这个差等于第三边，而这只有在p、a、f'三点共线时才能实现。
当p点处于这一特殊位置时，pa与pf'的差正好等于af'，此时我们得到了最大值。这个最大值即为图中af'的长度，再加上之前提到的6。其中，f'作为椭圆的右焦点，我们可以通过c²=a²-b²的计算方式得到c的值。这里9减去5得到4，c的值为2。右焦点的坐标为(2, 0)，而点a的坐标已知。
利用两点间的距离公式，我们可以计算出af'的长度，再加上6得到最终结果。具体计算为根号下(2-1)²+(2-0)²再加上6，结果为根号5加6。