在数学世界里，针对设⊿ABC及相关的外接圆和边的属性，我们有一系列的规律与性质值得探究。
性质1：对于锐角三角形，其外接圆的外心位于三角形内部；对于直角三角形，其外接圆的外心则位于斜边上，并与斜边的中点重合；而对于钝角三角形，其外心则处于三角形的外部。等边三角形的外心与内心是同一点。
性质2：角BGC的度数等于角A的两倍，或者表达为∠BGC=2(180°-∠A)。
性质3：在三角形中，角GAC与角B的和等于90度。
证明过程如下：如图所示，延长AG线与圆相交于点P（位于B、C下方的点）。由于A、C、B、P四点共圆，我们可以得出∠P等于∠B。再结合其他角度关系，我们可以证明∠GAC与∠B的和为90度。
性质4：在平面ABC上，若点G是⊿ABC的外心，那么对于平面ABC上的任意一点P，G满足特定的向量等式。这些等式涉及到PA、PB、PC以及tanA、tanB、tanC等元素。
性质5：三角形的边的垂直平分线会相交于一点，这一点即为三角形外接圆的圆心。外心到三角形三个顶点的距离是相等的。
性质6：若点G位于平面ABC上，则当(向量GA+向量GB)·向量AB等于0等条件满足时，点G即为⊿ABC的外心。
关于三角形外接圆的半径，它有一个重要的公式：R（半径）等于abc除以4倍的三角形ABC的面积S。对于任意三角形，其面积S可以通过半边长乘以其对角的正弦值来计算。利用正弦定理，我们可以推导出边长与对应角度的正弦值之间的关系，进而求得外接圆的半径。