关于无限循环小数与分数之间的关系，这是初中生已经熟知的内容。深入探究其背后的原因，理解为何无限循环小数可以被视为分数的人并不多。现在，我们将对两个命题进行证明。在开始之前，我们先明确有理数的定义，即用分数来描述。接下来，我们将逐一验证这两个命题：
命题一：所有有理数都能以无限循环小数的形式表示出来（有限小数可视作零的循环）。
命题二：若一个数能表示为无限循环小数，则它必定是有理数。
这两个命题是相互逆命题的关系。
对于第一个命题的证明，我们首先用分数的定义来阐述有理数。假设一个有理数为 p/q（其中p为整数，q为正整数），我们用十进制小数来表示它时，本质上是在做除法运算。由此，我们可以明白，由于分数的本质，有理数能够被表达为既约分数，进而可以表示为无限循环小数。
我们已经证明了“若一个数能表示成无限循环小数，则它是有理数”这一命题。根据原命题与逆否命题的等价性，我们可以得出，“无理数不能表示成无限循环小数”，也就是说，无理数只能以无限不循环小数的形式存在。例如，根号二的近似值1.31...就是一个典型的无限不循环小数。
无理数的连分式表示是数学中的一种进阶概念。虽然中学阶段可能没有专门学习连分式理论，但我们在解题过程中可能会遇到与之相关的习题。以根号二为例，即使我们用连分式来表示它，其形式依然展现出一定的规律性。事实上，任何无理数都可以被表示为连分式的形式。
在操作上，将无理数转化为连分式的过程相对简单。我们首先分离出整数部分，然后将小数部分倒转并继续分离出其整数部分，如此反复进行。值得注意的是，连分式的表示并不是唯一的。例如，我们可以看到某些序列似乎没有明显的规律，但通过不同的写法，又能瞬间发现其中的规律。
自然对数的底数e、黄金分割数等无理数都可以用连分式来表示，且呈现出独特的规律性。连分数本质上就是无穷级数的一种表现形式。在大学数学分析中，我们会深入学习无穷级数的相关知识。
连分式表示法为无理数提供了一种新的视角。一个数的连分式可以有多种写法，这是因为一个数的无穷级数存在多种表达方式。