在掌握了条件概率与独立性的基础上，我们会转向数学期望的学习。没有先前概率论的基础知识，直接学习数学期望可能会感到有些困难，但若跳过细节去死记硬背，虽然可以暂时记住一些公式和算法，但要真正理解却更加不易。为了更全面地学习，尽管时间紧迫，我们仍应努力理解并吸收这些知识。在学完一场关于天池比赛的优秀代码解析后，我们会再次回到概率论的其他主题进行深入学习。
正如古语所说：“书读百遍，其义自见。”即便某些知识点初次看来难以理解，但随着时间的推移和反复的使用，我们终会逐渐领悟其含义。
刻画随机变量的特性有多种方法，其中包括分布律、密度函数和分布函数。这些方法各有其特点：它们全面、详细且完整。尽管如此，这些方法也存在一定的不足，例如可能会显得有些复杂，且有时重点不够突出。
问题：我们应如何以简明扼要的方式描述随机变量的特性？
要求：寻找一种简单明了、特征鲜明且直观实用的描述方式。
示例：通过对比总环数和平均环数，我们可以初步判断出甲的成绩相对较好。那么，是否存在其他更为直观的比较方法呢？利用“频率近似概率”的思想，我们可以得出甲、乙两射手中环数的分布律。
平均值的概念广泛运用于多个领域，如某课程考试的平均成绩、电子产品的平均无故障时间、某地区的日平均气温和降水量、某地区水稻的平均亩产量、某地区的家庭平均年收入以及某或地区的平均寿命等。
定义对于离散型随机变量X，若其分布律满足特定条件，且级数收敛，则其数学期望E(x)可定义为求和公式中的加权平均值。
说明数学期望也被称为期望值或均值，它是随机变量取值的一种平均表示方式。这种加权平均的方式保证了求和的次序不会影响到最终的结果。
若级数发散至无穷大，则称E(x)不存在。
例如，考虑从学校前往火车站的途中需要经过三个交叉路口的情况。若在每个路口遇到红绿灯的概率是独立的且均为0.5，记X为途中遇到的红灯数。我们可以求出其数学期望E(x)。
数学期望的物理意义在于它为随机变量的特性提供了量化的表示方式。例如在连续型随机变量的情况下，我们可以通过密度函数来计算其数学期望。
示例：对于不同分布的随机变量，如均匀分布、泊松分布、二项分布、正态分布等，我们可以求出其数学期望。
回顾与分析：如果g(x)是一个单调且连续可导的函数，那么它的反函数x=h(y)存在且连续可导。由此我们可以推导出一些有趣的等式关系。
定理：例如在风速与飞机机翼压力的关系中，我们可以通过数学期望来计算机翼所受的平均压力。
扩展分析：在计算随机变量函数的数学期望时，不需要先求出该函数的密度，而是可以直接利用该函数与原始随机变量的密度函数进行积分计算。这种方法简化了计算过程。
推广的定理：以直观的方式分析E(XY)=0的合理性。数学期望实际上代表了随机变量取值的一个中心值。例如在单位圆上均匀分布的点(X,Y)，其乘积的数学期望结果是一个正负抵消的结果。
进一步扩展：虽然E(X+Y)可能不等于0，但某些特定情况下其值可能接近于零。