探索二次函数的“俄罗斯套娃”
作为数学考试中的常客，二次函数以其多变的形式和广泛的适用性，成为了考生必须掌握的重点内容。它不仅可以与一次函数、反比例函数整合，还可以与几何图形结合，其中动点问题更是中考压轴题的熟面孔。在二次函数的图象及其性质运用中，我们需要达到相当的程度，方能游刃有余地解决各类问题。这些看似复杂的关系，就如同俄罗斯套娃一般，一层层地展开，引人深入。
题目展示
（图略）已知点A(2，1)，B(2，0)，C为y轴上一动点，过A，C两点的抛物线为y=ax²+bx+n(a≠0，a≠-1)，直线OA与直线BC相交于点P。
（1）若n=1，且抛物线恰好也过P点，求抛物线顶点坐标。
（2）当抛物线同时经过A，C，P三点时，此时P必为该抛物线的顶点。请以n=2为例验证上述结论。
（3）若抛物线与直线BC有唯一交点C时，求a的值，并求当C沿y轴向上运动时，其顶点同时向下运动所对应n的取值范围。
解析引导
（1）在n=1的条件下，我们先观察到点A与点C纵坐标相同，因此它们关于抛物线的对称轴对称。确定了对称轴后，我们可以通过已知的点A、C、P的坐标，代入抛物线的解析式中，求出a、b、n的值，进而得到抛物线的顶点坐标。
（2）在n=2的情况下，我们首先求出P点的坐标，然后同样通过A、C、P三点的坐标，求出抛物线的解析式，并化为顶点式的形式，从而确定顶点坐标。
（3）对于抛物线与直线有唯一交点的问题，我们通常通过联立抛物线与直线的方程，令其判别式为零来求解。在此问题中，我们首先需要理解C点沿y轴运动时，抛物线顶点的运动规律。接着，我们利用配方法将抛物线的顶点坐标表示出来，并通过二次函数的图象性质来推导结果。
深入探究
在解决这类问题时，我们需要对二次函数的图象和性质有深入的理解。参数控制点的运动规律，如果参数是一次多项式，则点沿直线运动；如果是二次多项式，则点可能沿抛物线运动，出现“忽上忽下”的情况。我们需要理清这些关系，才能更好地解决这类问题。
解题反思