在微分数学的世界中，中值定理占有极其重要的地位。其中，拉格朗日中值定理无疑是核心所在，而费马定理虽为引理，但可视为其预备定理。罗尔定理为其特例，而柯西定理则是其拓展。
费马，这位来自法国的数学家，与笛卡尔共同开创了解析几何的领域。他因提出费马大定理和小定理而闻名于世。
关于几何的解释，当曲线在最高点或最低点处存在切线时，这条切线必定是水平的。
接下来，我们将依据图形与上述定理进行推导证明。假设函数f(x)在x=xo处取得最大值，且在x=xo的某一邻域内，f(x)始终小于或等于f(xo)。对于任意的Δx（Δx≠0且xo+Δx属于该邻域），其差值Δy=f(xo+Δx)-f(xo)必然小于或等于0。
我们分两种情况来讨论：当Δx大于0时，有以下情况；再结合极限的保号性原理。对于Δx小于0的情况，我们也可得到相应的结论。
由此，我们可以推导出f(x)在x=xo处的导数关系。由于f(x)在xo处可导，其导数f'(xo)等于f'₊(xo)也等于f'₋(xo)，即f'(xo)的值既不小于0也不大于0，因此f'(xo)必须等于0。
费马定理在数学中有着广泛的应用，尤其是用于证明驻点、极值点和最值的存在。
知识延伸部分指出，驻点是指导数为零的点。而极值点可能是驻点或不可导点，但值得注意的是，极值点并不一定就是驻点。
通过学习，我们来看一个例题以帮助理解：请求解函数f(x)=xe^x在实数范围内的最值。通过求解和推导，我们可以发现该函数在x=-1处取得最小值，其值为-1/e。