一、数学归纳法
（1）第一数学归纳法
第一步：当n为初始值n0时，检查结论是否成立。
第二步：假设当n=k（k为正整数且大于或等于n0）时，结论成立。然后证明当n=k+1时，结论同样成立。
由此，可以推广到所有正整数n大于或等于n0，P(n)均成立。
（2）第二数学归纳法
对于P(n)，一个与正整数n有关的命题：
第一步：当n等于特定值n0时，P(n)成立。
第二步：如果假设当n小于或等于k（k为正整数且大于或等于n0）时，P(n)成立，那么推导得出当n=k+1时，P(n)也成立。
二、数列极限
（1）表示方法
① 当数列的项数趋于无穷大时，数列的某一项an会趋近于某个常数a。
（2）常用极限
① 对于任意实常数a，当|a|小于1时，极限存在；当|a|=1时，若a等于1则极限不存在；若a等于-1，则极限为无定义状态。
② 当|a|大于1时，极限同样不存在。
三、函数极限
（1）函数极限定义
当自变量x趋近于常数x0而不等于x0时，如果函数F(x)趋近于一个常数a，则称x趋近于x0时，函数F(x)的极限为a。
注意：x趋近于x0并不要求x等于x0，即使F(x)在x0处无定义，其极限也可能存在。
（2）函数极限的运算法则
如果两个函数的极限都存在，那么两函数的和、差、积、商（除数不为零）的极限同样存在。
四、函数的连续性
（1）连续性定义
若函数f(x)在某点x=x0连续，则f(x)在该点的左右极限必须相等且等于该点的函数值。
（2）连续性判定
若函数f(x)在点x=x0有定义且其左右极限存在且相等但与f(x0)不相等或f(x0)不存在，则称该点为f(x)的不连续点。
五、重要定理与结论
（1）零点定理
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且f(a)与f(b)的乘积小于零，则在开区间(a, b)内至少存在一点ζ使得f(ζ)=0。
（2）介值定理
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且其端点取值不同，则在开区间(a, b)内必存在一点ζ满足f(ζ)=任意给定的介于f(a)与f(b)之间的数。
（3）夹逼定理
若对于所有满足|x-x0|<σ的x值，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)的极限都为同一值L，则f(x)的极限也为L。