“等积变换，变幻无穷”。等积变换作为几何学中富有灵动性和趣味性的内容，在实际生产与生活应用中具有广泛的作用。在探索这一领域之初，我们先来理解它的理论基础——等积移动定理。
等积移动定理阐述的是：当保持底边不变，顶点在底边平行的直线上移动时，所得到的三角形面积是相等的。如图21所示，若l∥ BC，A₁、A₂、A₃…等点是直线I上的点，那么△A₁BC、△A₂BC和△A₃BC的面积都是相等的。这里的△A₁BC、△A₂BC、△A₃BC等表示相应三角形的面积。
证明这一结论是相对简单的，因为平行线间的距离是恒定的，所以这些三角形具有相同的底和高，从而面积相等。
接下来，我们以等积移动定理为基础，来证明一些实际例子。
例1：如图22所示，当AB与CD平行，且AC、BD相交于点O时，根据等积移动定理，我们可以得出△AOD与△BOC的面积是相等的。这不就是我们所熟知的蝴蝶模型吗？接下来我们将详细证明这一结论。
证明过程如下：由于AB与CD平行，根据等积移动定理，我们可以得出△ABD与△АВС面积相等。进一步推导，△ABD减去△AOB的面积等于△ABC减去△AOB的面积，因此得出△AOD与△BOC的面积相等。
在几何图形中，即使两个图形全等，也没有“全等形之差全等”的说法。如图23所示的△ABC与△A'B'C'以及△DEF与△D'E'F'。从△ABC中减去△DEF后的阴影部分与从△A'B'C'中减去△D'E'F'后的阴影部分并不完全重合。
再来看一个例子，我们在图24中展示了如何通过等积移动定理进行等积变换。在平行四边形□ABCD中，作对角线BD的平行线与BC、CD相交于E、F。这样我们就可以证明△ABE与△ADF的面积是相等的。
通过类似的方式，我们可以推导出更多关于等积变换的结论。例如在图25中展示的问题，我们可以通过等积变换来解决一个看似与面积无关的问题。在平行四边形□ABCD的两边AD、CD上取F、E使得AE=CF且AE、CF交于P点。那么BP就是∠APC的平分线。
课堂作业
练习题
1. P点是△ABC中∠A的平分线上的一点，过B作BE∥PC交AC的延长线于E点。过C作CF∥PB交AB的延长线于F点。那么BF将等于CE。
解答：如图所示，连接PE、PF并使BE∥CP。由此可以得出△ECP与△BPC的面积相等。再结合CF∥BP，我们可以得出△FBP与△BPC的面积也相等。我们可以得出△ECP与△FBP的面积相等。由于P点在∠A的平分线上，所以P到ABF和ACE的距离相等，从而BF等于CE。
2. 在梯形ABCD中，E、F分别是两底AB、CD的中点。在EF取一点O。根据等积变换原理，我们可以得出△AOD与 △BOC的面积是相等的。