在高等数学的领域里，连续性与完备性的概念是一块相对难懂的知识点，这也是“老黄学高数”第131讲的主要内容。这篇文章将详细阐述如何运用实数理论的完备性定理，来证明闭区间上连续函数的一致连续性定理。
一致连续性，简单来说，就是在闭区间上的连续函数具有一致连续的特性。老黄将为大家展示两种不同的证明方法。
证明方法一：应用有限覆盖定理
基于f在[a，b]上的连续性，我们可知：
对于任意的正数ε，总存在某正数δx，当x0与x的差值小于δx时，f(x0)与f(x)的差值就会小于ε/2。
我们将这些邻域的半径减半，并把这些开区间集记作H。由于这些邻域是覆盖了闭区间上的每一个点，因此闭区间被H开覆盖。
利用有限覆盖定理，我们可以从H中选取有限个开区间，记作H’，它们仍然可以覆盖整个闭区间[a，b]。
接下来，我们取H’中所有开区间的最小半径的一半作为新的δ。对于闭区间[a，b]上的任意两点x1和x2，只要它们之间的距离小于δ，那么它们就一定属于H’中的某一个开区间。
利用绝对值的三角不等式和实数的完备性，我们可以推导出函数在任意两点间的差值小于任意正数ε，这正是一致连续性的定义。
证明方法二：应用致密性定理
如果f在[a，b]上不是一致连续的，那么将存在某个正数ε0，无论δ取何值，总存在两点x’和x”，它们的距离小于δ，但函数值的差值却大于或等于ε0。
我们将δ取为1/n（n为正整数），对应的两点记作x’n和x”n。尽管这两点的距离随着n的增大而减小，但它们的函数值之差始终大于或等于ε0。
由致密性定理知，有界无限点列必含有收敛子列。我们可以从{x’n}和{x”n}中分别选取收敛子列{x′_(nk)}和{x″_(nk)}。
设{x′_(nk)}的极限为x0，通过一系列的推导和运用绝对值的三角不等式，我们可以得出函数在相应点上的函数值之差也趋近于0。然而这与我们之前的假设相矛盾，因此f在[a，b]上必须是一致连续的。
以上两种证明方法虽然路径不同，但都得到了相同的结果。期待更多的学习伙伴能够理解并掌握这两种证明方法。