ARIMA模型详解
ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model），即自回归整合移动平均模型，是时间序列预测分析的重要方法之一。在英语中，它也被称为“差分整合移动平均自回归模型”或“整合移动平均自回归模型”（其中“移动”亦可称作“滑动”）。
ARIMA模型中的(p, d, q)三个参数有着明确的定义：AR代表“自回归”，p为自回归项数；MA代表“滑动平均”，q为滑动平均项数；d则是为了使时间序列成为平稳序列所必需的差分次数（阶数）。值得注意的是，“差分”这一概念虽未在ARIMA的英文名称中明确提及，但在模型应用中却是关键步骤。
对于平稳时间序列的预测，ARIMA模型通过一组特定的参数（p、d、q）来决定预测因子。
- AR（自回归）项的个数（p）: AR项表示的是相依变量的滞后项。假如p值为5，那么x(t)的预测因子将包括x(t-1)和x(t-5)。
- 移动平均项数（q）: MA项代表预测方程中的滞后预测误差。例如，如果q为5，那么x(t)的预测值将依赖于e(t-1)和e(t-5)，其中e(i)是瞬时移动平均值与实际值之间的差值。
- 差异数（d）: 这表示非季节性差异的数量。通常，我们通过取一阶差分来使变量平稳，并将d=0传递给原始变量。尽管d=0和d=1的传递可能产生相同的结果，但这个差异数是确定模型的关键因素。
模型中还涉及到一些重要的概念性工具，如：
- ACF（自协方差函数）: 它是衡量时间序列Xt与其经过时间平移的信号之间的协方差。例如，将t1、t2与t1-5、t2-5进行对比，ACF反映了同一序列在不同时序取值之间的相关性。
- 偏自相关函数（PACF）: 它计算的是严格两个变量之间的相关性，剔除了中间变量的干扰，从而得出两个变量之间的真实相关程度。
为了确保ARIMA模型的适用性，时间序列数据必须是“平稳非白噪声序列”。需要进行“平稳性检验”和“白噪声检验”。以下是几种常用的检验方法：
- 观察法: 通过观察序列图来判断是否围绕序列均值上下波动，无明显的上升或下降趋势，以此初步判断是否为平稳序列。
- 自相关图与偏相关图分析: 通过观察自相关图（ACF）和偏相关图（PACF）的特征，判断序列是拖尾还是截尾。
- 单位根检验: 利用DF检验、ADF检验或PP检验等方法，通过统计测试来判断时间序列是否存在单位根，从而确定其平稳性。
对于非平稳序列，通常需要先进行差分处理，直至序列满足平稳性的要求。差分的方法包括一阶差分和更高阶的差分，视具体情况而定。有时，还需要结合趋势和季节性的分解方法对数据进行预处理。