杨辉三角形亦被称为帕斯卡三角形，是一种独特的数型。
杨辉三角是数字的三角形排列，它揭示了任何二项式表达式展开时的系数分布规律。这种数字排列呈三角形形状，起始时在顶端放置1，然后按照一种特定的三角形模式填充数字。每一步得到的数字都是其上方两个数字的加和。
大多数人对杨辉三角的认识是通过一套直观且易于理解的规则。在最上层，两侧的数字均为1。随着向下延伸，每个新数字都位于其上方两个数字的下方，其值等于这两个数字的和。理论上，这个三角形是无限的，会永远向下延伸，但实际展示时，通常只显示前几行。
杨辉三角形的构建与特性
构建杨辉三角最简单的方法是从第0行开始，仅书写数字1。接下来，为了得到下面的行数，将正上方和正右方的数字相加即可。如果缺少左方或右方的数字，则用零代替并继续进行加法运算。这种模式从第0行延续至第5行，呈现出一种规律的排列。
当我们以斜线角度观察这个三角形时，可以看到不同的对角线包不同的信息。例如，第一条对角线仅包含一列1，第二条对角线则呈现出计数数列，而第对角线则展示了三角形数字数列。
那么，杨辉三角形是如何应用的呢？
杨辉三角形在各种概率情境中有着广泛的应用。例如，在抛的场景中，如果抛一次，可能出现正面(H)或反面(T)两种结果。当抛两次时，将出现四种可能的结果：HH、TT、HT、TH。这时，杨辉三角形可以帮助我们理解和计算这些概率。
让我们考虑一下这里给出的基于投掷次数和结果的表格，它如何通过杨辉三角形来辅助理解和计算。
杨辉三角形的形态与规律
1)一个引人注目的特性是每一行数字的和。对于任意行n（n为行号），该行所有数字的和都等于2的n次方。
2)在三角形中还隐藏着关于质数的模式。如果某一行是质数行（不包括1），那么这行中的所有数字（除1外）都可以被这个质数整除。
3)帕斯卡三角形中还蕴斐波那契数列的秘密。通过对角线上的数相加，即可得到斐波那契数列。
杨辉三角的特性概述
- 每个数字都是其上方两个数字的和。
- 三角形的外部数字均为1。
- 这个三角形是对称的。
- 第一对角线表示正在计数的数字序列。
- 每一行的和都是2的幂次方。
- 每行都是11的乘方数。
- 每个数字在二项式展开中都有其对应的“二项式系数”。
- 斐波那契数列隐藏在对角线上。
这里展示的是一个包含18行的杨辉三角形。
公式与二项式扩展应用
杨辉三角形定义了出现在二项式展开中的系数。对于第n行的多项式展开表达式，其系数恰好是杨辉三角形第n行中的数字。这就是我们通常所说的二项式系数Cn（r）。
以二项式为例，令a=b=1，那么二项式的第r+1项的系数就是通过杨辉三角形来确定的。二项式系数具有多种性质，如上述所列。