数学之学，实为思维之学。若方法不当，则努力皆为枉然。
学生常会遇到这样一类题目，即便反复思考仍难以。不少家长纷纷寻求我的帮助以解答其子女的疑惑。题干是：关于一个数的各个数位上数字的和为21，而且这些数位数字均不能为“0”，同时它们也不会重复。需要求解这个数的最大和最小值分别是多少。对于这类问题，常规的思路是寻找数的位数，并据此推算最大和最小值。一般而言，最大数就是将所有数位都设为9，而最小数则最高位设为1，其余数位则为0。
但此题需要突破常规的解题思路。首要明确的是，任何一个数位上的数字取值范围都是0至9之间的自然数。要理解什么是数位之和。若想求得最大数，则应尽可能增加数的位数；若想求得最小数，则应尽量减少数的位数。这三个要点构成了基本的思考框架。
明确了框架后，再根据题目条件逐一。在寻找最小数和最大数的过程中，有一个重要的原则：对于最小数，应从最小的数字开始按顺序排列；对于最大数，则应从最大的数字开始按顺序排列。
那么，如何解答这道题呢？依据条件一，所有数位上的数字之和为21。因为任何一位数的最大值为9，最小且不为零的值为1，结合条件二中数位数字不能重复的要求，我们可以推断出一位数为8，而21减去8和9还剩下4，故最高位为4。满足所有条件的最小数是489。
对于最大数的求解，我们需要尽可能多地使用位数。由于各位数字不能重复且都不能为0，因此我们需要有序地排列这些数字。为了让数尽可能大，我们应该在保证不违反条件的前提下尽可能使用较小的数字作为高位的补充。不难得出其最大数为654321。