—— 这是果爸的数学分享时间，2022年的第012期 ——
昨天我们探索了以矩形为背景的最值问题，今天让我们进一步学习矩形中的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
关于直角三角形斜边上的中线，有三个关键结论等待我们去发掘:
让我们通过几道典型的综合题来深入理解这个性质。让我们看一道关于构造直角三角形斜边上的中线来解决问题的题目:
解题策略：已知∠AEB和∠AFB都是90°，且O是AB的中点。连接OE和OF，我们可以得出OE和OF都等于AB的一半。这表明△OEF、△AFO和△AOE都是等腰三角形（如图2所示）。结合三角形外角定理，我们可以求出∠FOB和∠EOB的度数。又因为OE=OF，所以∠EFO=∠OEF。根据三角形内角和为180°，我们可以求出∠OEF的度数。具体步骤如下:
在第二小题中，连接OF后，同样会得到△AFO、△AOE和△OEF是等腰三角形（如图3所示）。结合三角形的相关定理和内角和，我们可以求出∠OEF的度数。思路与第一小题相似，具体步骤不再赘述。
接下来，我们来看第二题:
第二题主要考察在直角三角形中，取斜边中点构造斜边上中线来进行线段等量代换的方法。由于∠C=90°，且AD平行于BC，我们可以得出△EAD是一个直角三角形。题目要求证明DE=2AB。我们发现在直角三角形中，DE是斜边，所以我们只需取DE的中点F，连接AF，就可以将问题转化为证明DE=2AF。
接着，我们再来看一道题目，这道题也是关于构造直角三角形斜边上的中线来求证线段数量关系的:
本题要求证明CD等于BE的一半。我们发现BE是直角三角形的斜边，所以我们只需构造斜边上的中线DF，证明DF=DC即可。这只需要证明∠DFC=∠C即可得出结论。由于AB=AC，所以我们只需证明∠DFC=∠ABC，问题就变得相对简单了。
我们来看两道关于共斜边的直角三角形的题目，都是取斜边中点，分别连双中线进行线段等量代换的:
第一小题中，O是BC的中点，BC既是直角△BEC的斜边，也是直角△BDC的斜边。连接OD后，我们可以得出OD=OE，即△OED是一个等腰三角形。我们只需证明∠EOD=60°，就可以得到DE=OE。
第二小题中，如果对前面提到的模型熟悉的话，辅助线的构造就相对容易了。连接EM、DE后，我们可以得出EM=DM，且都等于BC的一半，即△MED是一个等腰三角形。由于N是DE的中点，我们可以得出MN⊥DE。
第二小题的第二问也比较简单，只需证明三角形MDE为等边三角形，就可以得出MN与DE之间的数量关系。
通过今天的学习，希望孩子们能掌握直角三角形斜边上的中线的三大模型及对应的解题策略。我们明天继续努力!