在我们的中学数学课堂上，我们曾经接触过一个被称为"帕斯卡三角"或"杨辉三角"的数学图形。这一结构，实际上揭示了代数中二项式展开的系数规律，其背后的数学原理由帕斯卡在十三岁时发现，虽然比杨辉的发现晚393年，比贾宪晚600年。
尽管帕斯卡英年早逝，但他留下的精神财富却极为宝贵。在他的哲学名著《思想录》中，他留下了一句富有哲理的名言："人只不过是一根有思想的芦苇。"这句话深深地反映了人类存在的脆弱与伟大。
一、帕斯卡三角的数字特性
在帕斯卡三角的每一横行中，从右到左或左到右的第4项数字，被称为三角形数，因为它们可以在等距离的排列下形成一个等边三角形。比如，数字10就是一个三角形数。
再进一步，紧邻着这些三角形数的下一个斜对角线上的所有数字被称为"四面体数"。这个数字代表了可以排成一个特定形状的四面体的数量。
如图所示，我们可以看到一个由球体组成的五层高的正四面锥体。
二、游戏与最短路径
许多人对于游戏厅里的弹珠游戏一定不陌生。我们可以将其模型简化：一个弹珠在重力作用下从A口投入，最终落在最下方的弹珠槽里。不同的槽对应着不同的奖品。这个游戏实际上隐藏了帕斯卡三角的概率问题。
我们可以画一张更抽象的图来分析弹珠的可能行走路径。图中黑色的线代表了弹珠的行走轨迹。由于只有一个，所以弹珠经过此是必然事件，可能性为1。当弹珠遇到分叉路口时，由于重力作用和物理规则，弹珠往左右两边掉落的可能性是相等的。
当我们投入多枚弹珠时，经过各个分叉的弹珠数量的数学期望值恰好符合帕斯卡三角的分布。这也解释了为什么游戏厅在设置奖项时，越靠边的弹珠槽其对应的奖项价值越高。
在国际象棋棋盘上，"车"从一角到对角线的另一角的最短路径数量也可以通过类似的方式计算出来。如将棋盘上的格子标上数字，问题便迎刃而解。
三、帕斯卡三角与开方及其他妙用
帕斯卡三角的出现不仅是为了方便人们开方。熟悉二项式系数及"改正误差"的思想，无论是在进行二次、三次还是高次方的开方时，都能帮助我们手动计算。帕斯卡三角还具有其他的应用。
如果我们把帕斯卡三角放大并使用特定的规则（如偶数用点表示，奇数用空格表示），将会形成一个复杂的分形图案。
还有研究人员发现，一种外观与帕斯卡三角相似的微米等级金属丝密封垫在磁场中具有特殊的超导体特性。
由此可见，帕斯卡三角（杨辉三角）在数学领域中的地位不容小觑。从古至今，无数的数学家和科学家都在这一结构中发现了无数的奥秘和可能性。