最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中一个十分成熟的参数估计技术。这一概念早在1821年由高斯提出，但直到1922年才被英国统计学家罗纳德国·费雪在《关于数理统计的数学基础》一书中详细阐述。
如何理解最大似然估计呢？
从字面意义上看：
"Maximum"即“最大”，“Likelihood”意为“可能性”，因此“Maximum Likelihood”便可理解为“最大可能性”。更文雅的表述即是“极大似然”。
结合生活实例来解释：
想象暑假里，你还是学生，某天无所事事。手机响了起来，推门而出后，你阿妈看见你在玩手机。晚餐后，阿妈在观察你时，多次发现你在打游戏。阿爸在听到阿妈的描述后，决定运用最大似然估计来评估你打游戏的概率。
在这个场景中，阿妈通过观察的频率——“推门时看到你打游戏的次数占总推门次数的比例”，推断出你当天可能最大的行为是打游戏。这种通过数据归纳并极大程度上判断行为的逻辑过程，本质上就是统计学思想的具体体现。
这一推理过程如何用数字量化表达呢？
当阿爸冷静下来后，决定以更严谨的方式对阿妈的描述进行计算。他考虑以下假设：
- 那天你的行为只有两种：打游戏（记作0）和其他活动（记作1）。
- 打游戏（或其他活动）的概率我们用p（或1-p）来表示。
- 阿妈推门是随机的。
在这个假设下，整件事情可以看作是一个二项分布问题，它服从某一概率函数。而这个概率函数与接下来要讨论的似然函数，其实是一种形式的体现。它们之间的关系在于变量的界定——已知的概率是函数中的参数；而通过似然函数估计的概率，是未知的变量。
概率函数与似然函数的区别：
- 在概率函数中，已知的参数p被用来计算某一事件（如8次打游戏）发生的可能性。而当p为已知时，我们用F(x|p)的形式来描述模型中谁是变量、谁是已知参数，使模型更加清晰。
- 而在似然函数中，概率p是未知的。根据已发生的事件（如8次打游戏），我们可以求出在这次事件上概率p的最大或最小值。这个函数关于未知概率p的表达式，在p的不同取值下会有不同的函数值。通过求导并令导数为零，我们可以找到这个函数的极值点，从而得到p的估计值。
在这个例子中，通过计算似然函数的最大值，我们得出p=0.8这一结果。这表示在给定条件下的似然函数中，概率p为0.8时似然函数的值达到最大。换言之，从数据上分析，你阿爸得出的结论是你有80%的时间在打游戏。
故事结局：
你阿爸已经拿着扫帚赶过来了！
END