伽罗瓦提出了一种名为“有限域”（finite field）的理论，其概念在日语中被称作“有限体”。为了更好地理解这一概念，我们先从数的世界出发。
自小学起，我们便开始接触与数有关的知识，数的种类随着学习不断丰富。最初，我们接触的是自然数1、2、3……，接着是分数如2/3、3/4以及小数如1.5、0.04，再后来我们又学习了负数如-2、-5等。
随着学习的深入，我们会遇到诸如正方形对角线长度等无理数，如√2。这些数无法用分数来表示。
数的种类不断增加，这是为了满足计算的便利性。
当只了解自然数时，虽然可以进行加法运算，但减法却存在困难。为了解决这一问题，我们创造了负数。将数的范围扩展至包括负数后，减法运算就变得自如了。
负数的出现并不意味着除法运算能够顺利地进行。例如，我们依然无法得出2÷3的结果。为此，我们需要引入新的数，如分数2/3，即分数是必要的。
所有正负整数和正负分数的集合被称为有理数集。在这个范围内，我们可以自由地进行加、减、乘、除的运算（除0外）。
这种可以进行各种基本运算的数的集合被称为“域”。全体有理数构成了一个域。
虽然域的主要构成是有理数，但域并不局限于有理数。除了有理数外，还有无理数。有理数和无理数共同构成了实数域。
在众多域中，存在一种特殊的域——有限域。这种域由有限个数字构成。
以(mod 2)为例，我们对整数进行分类。分类后的整数被分为包含0的偶数类和包含1的奇数类。在这个简单的例子中，我们用0和1来表示所有偶数和奇数。按照这种计算规则，这个由0和1构成的集合也构成了一个域。
同样的逻辑也适用于(mod 3)、(mod 4)等其他情况。当模数为素数时，剩余类也能构成一个域。
当使用素数作为模进行分类时，根据费马小定理，每个非零的数字都有一个逆元。这意味着在这个域中，每个非零的数字都能与其他数字进行运算并得到一个结果。
如果我们手头有原根表，那么就能轻松地找出逆元。例如在(mod 7)的情境下，我们可以利用原根表快速找到逆元。
有限域是数学中的一个重要概念，它在多个领域都有广泛的应用。由于素数有无穷多个，因此有限域也有无穷多种类。
希望这篇文章能帮助你更好地理解“有限域”这一概念。
参考文献：
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