算术的基本定理自远古时期就被人类所认知。通常的证明是借助所谓欧几里得算法（The Euclidean Algorithm）来推导出两个正整数m和n的最大公因数（简记为）。该算法证明h可以表示为am+bn的形式，其中a，b是一对整数（不必然为正整数，甚至可以为0）。例如，17和7的是1，我们可以将1表示为1=5×17-12×7。
欧几里得算法的执行步骤如下：设m > n，先用n去除m，得出商为q1并产生余数r1。
- 方程式（1）
此时0 ≤ r1 < n，接着用r1去除n得到第二个商和余数。
- 方程式（2）
这个过程可以持续下去，用每个余数去除前一个余数，余数每次都会变小直到某一步余数为0即除尽。例如，若m=165，n=70，算生成一系列除法过程如下：
这一系列除法过程保证了最后一个非零余数即为m和n的。以165和70为例，其为5。其理由在于，一方面，式20=4×5+0说明5是前一个余数20的因数；通过这种连续的余数关系可以追溯至5同时为m和n的因数。
在欧几里得算法之后的1500年间，数学家们如和印度学派的数学家们发现该算法可与m/n的公式相联系。例如，方程式（1）可以表达为F=n/r1。接着，（2）式又将F表示为另一个整数与余数的比值。
进一步地，这一算法可以推广至连分数表达式的形式。例如，对于分数165/70=2.35714…的连分数展开，可以直接从中得到其连分数的部分商。如对于π=3.14159265…的连分数展开，部分商依次为3, 7, 15等。
实数的连分数表达式可用来求实数的有理数近似。截断连分数即可得到一个有限的有理数近似。例如，截断上述π的连分数在第一层得到一个熟知的π的近似值。
在连分数逼近中，对于给定的实数x，其最佳的有理数逼近往往具有“最小”的q值（即分母较小）。而且这样的逼近误差具有特定的上界。具体而言，恒有误差估计式...
有时候，通过连分数得到的x的逼近值会比通常的估计更为精确。例如，对于π的逼近值335/113就非常精确。这源于其部分商较大所致。反之，那些部分商较小的数用连分数逼近时较为困难。
关于连分数的逆问题——即任意二次根的连分数是否为周期的——则经过了长时间的证明。最终在拉格朗日的工作下证明了这一结论与二次数域中单位元的存在密切相关。
在数学的函数中，有些函数可以用无穷级数或连分数来表示。例如指数函数有特定的无穷级数表示。而像tanx这样的函数则有简单的连分数表示。
tanx的连分数表示在大多数情况下都适用，除了x为π/2的奇数倍这些特殊点外。这种连分数表示以及其截断后的有理函数逼近在数学证明中扮演着重要角色。
比如，兰伯特（Johann Heinrich Lambert）利用连分数证明了若x是有理数（除0外），则tanx不是有理数。这进而说明π/4不可能是有理数。