最简的多项式方程解——被称作“单位根解法”，它们拥有优雅的构造，现今仍被数学家们用来探索数学领域中一些最开放的问题。
在代数或物理课堂上，你或许会遇到抛物线，这是一种模拟小球在空中抛物轨迹的简单曲线。而抛物线的魅力在于其顶点——无论是最高点还是最低点。我们可以用多种数学方法找到它，如顶点式、对称轴，甚至微积分。
就在上周，我的学生以一种非常直观的方式找到了抛物线的顶点。她表示：“因为根是关于顶点的对称点，如 x = 1 和 x = 7，所以顶点在 x = 4。”她之所以能这样做，是因为抛物线是二次多项式的图形，而这个多项式的根（使多项式等于零的数值）具有可利用的结构特点。
每个多项式的根都遵循一定的结构规律，数学家们研究这些结构并寻找应用它们的时机，就如同我的学生研究抛物线一样。提及多项式的根，就不得不提“单位根”，其结构之工整无出其右。
单位根是形如 (x^n) - 1 的多项式的根。例如，当 n = 2 时，我们得到二次多项式 x² - 1。要找到它的根，只需设其等于零，然后求解方程。
x² - 1 = 0
你或许记得因式分解的方法：a² - b² = (a - b)(a + b)。在此处应用该方法：
x² - 1² = (x - 1)(x + 1)
由此可得 (x - 1)(x + 1) = 0。
现在你得到了一个乘积为零的等式，此时可以运用代数中的“零乘积定理”：两个实数相乘为0，至少有一个数为0。于是，( x - 1)(x + 1) = 0时，可解得 x = 1 或 x = -1。
对于任意的 n ，我们都能找到 n 个单位根，即方程 x^n - 1 = 0 的解。这些单位根构造丰富，与高中数学中的三角学和平面旋转紧密相关，甚至与一些现代数学中未解问题的研究有所联系。
当 n = 2 时，根 1 和 -1 呈现出对称的结构，这与我的学生寻找抛物线顶点的方法有异曲同工之妙。在方程 x⁴ = 1 的解中，你可以观察到更多的结构特点。
因为 1⁴ = 1 和 (-1)⁴ = 1，所以 x = 1 和 x = -1 是四次单位根的解。但实际上还有另外两个解，我们可以使用之前的方法找到它们。
对于更高级的单位根分析，如 n 次（n > 2）单位根，其几何结构在复数平面上表现得尤为明显。如果你画出复数平面上 n 个单位根的图，你会发现它们围绕原点呈等距圆周分布。
复平面上 n 个单位根的图示
这种几何结构与三角学中的正弦、余弦、角和差公式、平面旋转理论以及自然对数函数的底 e 等重要概念紧密相连。更重要的是，对于任意的 n ， n 个单位根的和总是等于零的代数性质也是数学的一大奥秘。