在深入探索线性代数之路上，我们将遇到一个有趣的挑战：给定一个数值等式如x=4，我们该如何描绘一个与这一等式在线性代数中紧密相关的矩形呢？
前文提及，当我们解析多元一次方程组时，其实是在为n维向量寻找新的正交向量，从而增加了空间维度。对于本例中的x=4等式，我们可以将它转化为一元一次方程的形式，例如1x+4(-1)=0，如此便可将一维空间拓展到二维。这一转化可以通过矩阵的形式得以展现。
很显然，等式x=4等同于说某个向量的数值等于这个具体的数值。这时，我们可以将这个值代入到矩阵方程中。由于向量（1, 4）和（4, -1）的内积为0，它们在二维空间中是垂直的。这两条垂直线段就构成了我们想要绘制的矩形。
如果我们把这个矩形视作是一个小宇宙，那么其中的每个向量都是空间的创造者。将这些向量成一个行列式，进行对角相乘再相减的操作后，我们可以发现其计算结果与图中的矩形面积是相等的。
我们继续在更高的维度中展开讨论。把行列式中的两行元素作为系数，可以构建出一个二元一次方程组。在变换了形式之后，我们可以通过计算得出解的数值。将已知的解代入到矩阵方程中，我们还可以观察到其他向量（如（1, 4, 6）和（4, -1, 7））与另一向量（如（2, 1, -1））之间的垂直关系。当这些向量组合成一个新的行列式时，空间的维度从二维跃升到了三维，形成了一个棱柱体。
值得注意的是，这个棱柱体并不是一个立方体，因为构成它的向量之间的夹角并不总是90度。这并不影响我们对空间的理解，因为向量（2, 1, -1）与其他两个向量在空间中确实是垂直的。
通过这一系列的探索和计算，我们逐渐理解了行列式的本质。每一行或每一列都代表了一个空间维度，而每个元素则对应着一个空间坐标。行列式的计算结果实际上反映了对应向量所围合的空间体量。这一发现不仅加深了我们对空间维度的理解，也揭示了向量空间体量与行列式计算结果之间的奇妙联系。
行列式的变形并不改变其计算结果，就像水在不同的容器里形状会变但体积不变一样。我们还可以通过提取行列式的公约数来调整向量空间的体量大小，这在图形上也是可以直观地观察到的。
当行列式的计算结果为零时，说明至少有一个维度里是没有向量的。这一现象告诉我们，行列式不仅可以用来计算空间体量，还可以用来判断向量空间的饱满度。线性相关与线性无关的概念其实就是关于向量空间饱满度的体现。无论是纸箱的长、宽、高还是纸片的长、宽，都可以通过行列式的计算结果来分析其向量空间的饱满度或线性相关性。