一、抽象概念阐释
函数的奇偶性，实则是其图形几何特性的代数表达。如同将图像的对称性——轴对称或中心对称，用严谨的符号语言描述一般，它实现了从形的定性观察到量的精确表示的转化。偶函数的图像总是轴对称图形，其对称轴固定为y轴；而判断其性质的规则，即是检查函数在相反自变量下的值是否相等，即(-) = ( )。
相应地，奇函数的图像表现为中心对称图形，其对称中心是原点。奇函数的判断依据在于，对于任意自变量及其相反数，函数值互为相反数，即(-) = -()。
通过分析具体函数的取值规律，我们得知：“当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等”，这一现象的符号化表达即为：若函数f(x)的定义域为I，对于所有x∈I，都有-x∈I且f(-x) = f(x)。由此，我们可以推导出偶函数的符号判断规则。
那么，关于奇函数的本质及符号表示呢？其核心在于图像的对称性及函数值的互为相反数的关系。
二、奇偶性的判定方法
判断一个函数是否具有奇偶性，首先需确认其定义域是否关于原点对称。若定义域对称，则进一步观察f(x)与f(-x)是否相等或互为相反数，从而根据定义确定函数的奇偶性。若定义域非对称，则该函数被认定为非奇非偶。
研究发现，奇函数在x=0处若有定义，则必然有f(0)=0。这是因为图像关于(0,0)点对称，不可能出现一个x对应两个y的情况。
对于偶函数，目前没有发现其值域与f(0)的直接关系，但存在大量既奇又偶的函数，它们的值域均为{0}。记得，不同定义域的函数被视为不同的函数。
再谈及多项式函数的奇偶性，若其为奇函数，则只包含奇次项；若为偶函数，则仅包含偶次项。
在函数的运算中，奇偶性可经运算保持。例如，奇函数与奇函数的和或差仍是奇函数，而偶函数与偶函数的和或差则为偶函数。至于奇函数与偶函数的积，则依据奇函数的数量来决定结果的奇偶性。
三、复合函数的奇偶性规律
复合函数的奇偶性由其每一层的奇偶性共同决定。判断时，可尝试将x替换为-x并观察结果前的符号变化。
对于复合函数F(x) = f(g(x))：若g(x)为奇函数且f(x)也为奇函数，则F(x)为奇函数；若g(x)为奇函数但f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数。而当g(x)为偶函数时，不论f(x)的奇偶性如何，F(x)均为偶函数。
总结复合函数的奇偶性规律：“一若为偶则皆为偶，全为奇方才是奇”。此规律可推广至多层复合函数。