一、公约数概念解析
在数学中，几个数共有的约数，我们称之为这几个数的公约数。
例如：1和2都是6和8的公约数；同理，1和3是15和18的公约数。
为了更直观地理解，我们可以分析这些数的约数。比如，6的约数是1、2、3、6；8的约数也是1、2、4、8。观察可知，1和2是6和8共有的约数。
二、求取公约数的方法
找出几个数的公约数，首先需要列出各个数的所有约数，然后再找出它们共有的约数。
例如：在上述例子中，我们列出了6、8、15、18的约数，并找出了它们共有的约数。
三、最大公约数详解
在公约数的基础上，几个数共有的约数中最大的一个，我们称之为这几个数的最大公约数。
例如：2是6和8的最大公约数，意味着2能被6和8整除，且是它们最大的能整除的数。
找最大公约数的方法有多种，如分解质因数法、短除法（检验公约数法）以及缩小倍数法等。
以分解质因数法为例，我们需要将每个数分解为其质因数的乘积，然后找出所有数共有的质因数，并将它们相乘，得到的就是最大公约数。
四、实例应用
例如求18、24、36的最大公约数。先将这三个数分解质因数，找出共有的质因数2和3，然后将它们相乘得到最大公约数为6。
五、判断题解析
（1）错。互质数的定义是两个数的公因数只有1，但并不意味着它们没有最大公约数。实际上，互质数的最大公约数是1。
（2）错。两个数的最大公约数可以是这两个数本身，此时最大公约数与两数相等，并不一定比两数小。
（3）不完全对。12和18的公约数是2和3，这是正确的；但说“最大公约数是3”是不完全准确的，因为它们还有更大的公约数12。
（4）对。互质数的最大公约数是1，因此这一说法是正确的。
（5）对。如果两个数的共有质因数是2、3和5，那么它们的最大公约数是这些质因数的乘积，即2×3×5=30。
六、总结
通过以上解析，我们了解到公约数与最大公约数的概念及其求法。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解。通过练习与判断题的应用，我们能更深入地理解和掌握这一数学知识点。
七、求最大公约数的实际应用
接下来我们来求以下各组数的最大公约数：
(1) 对于18和27，它们的质因数有重合部分，通过计算可以得到它们的最大公约数是9。
(2) 对于13和17，它们是互质数，因此它们的最大公约数是1。
(3) 对于14和42，通过找出它们的公因数并取最大的，可以得到它们的最大公约数是14。
(4) 对于65、78、104这一组数，我们需要先找出它们两两之间的最大公约数，然后将结果再次求取最大公约数，最终得到的结果为它们三者的最大公约数。