先前我曾遭遇过对傅里叶分析的困惑，特别是在计算和概念理解上。当面对那些抽象的时域和频域转换时，我曾试图构建一个模型来直观地解释傅里叶公式。今天，我将再次尝试以不同的方式阐述，希望能更深入地揭示其内在机理。
参考资料：
傅里叶分析的深入解析 - 知乎专栏（更新于未知日期）
一、回顾傅里叶变换
以方波为例，我们通常认为任何波形都可以被视为不同频率、幅值和相位的正弦波的组合。傅里叶变换正是将这种任意波形（如方波）中的各个分量分离出来的过程。虽然硬件滤波器在理论上可以实现这一目的，但实际上其开销巨大，因此我们通常采用数学方法——特别是欧拉滤波器。
二、欧拉公式与三维模型
欧拉公式展示了一种螺旋上升的曲线，就如同一个神奇的“弹簧”。我们观察到的往往只是这个三维模型的某个投影，而借助于这个三维欧拉模型，我们可以更好地分离频域中的各个分量，实现滤波效果。
三、时域与频域的图像化表示
将时域信号乘以欧拉公式后进行积分取模，这一步被称为卷积。我们可以通过描绘这一过程的轨迹，来理解这个方程的机理。例如，当欧拉公式中的频率与信号频率一致时，我们可以观察到特定的轨迹模式。
四、复平面的投影与三维视图
通过观察复平面的投影和三维图，我们可以发现轨迹在复平面的投影重合度越高，对应的频域值越大。我们可以通过观察这些投影的重合度来判断频率值，或者识别出哪些频率成分的贡献最大。
五、相位识别
相位的识别可以通过观察不同初始相位时在复平面和三维图上的投影来实现。例如，通过比较不同相位的正弦波在复平面上的投影，我们可以求出相应的相位值。
六、傅里叶级数与傅里叶变换
对于周期性连续信号，我们使用傅里叶级数；而对于非周期性连续信号或离散信号，我们则使用傅里叶变换。时域连续周期信号在频域表现为离散非周期，而时域连续非周期信号在频域则表现为连续非周期。
七、拉普拉斯变换的引入
对于某些不收敛的波形，我们无法直接使用之前的方法进行频率识别。这时，拉普拉斯变换为我们提供了解决方案。它通过加入衰减函数来处理那些沿时间轴方向螺旋半径越来越大的波形，使积分结果有限可积。