函数基础
函数是表达变量之间直角关系的重要方式。它通常有三种表示法：解析法、列表法和图象法，每种方法都有其优缺点。在解析法中，换元法和代入法是求函数解析式的常用方法。
一、函数的表示法
函数常用的表示方法包括：
- 列表法
- 图象法
- 解析法
二、函数的图象与性质
1. 定义
在平面直角坐标系中，将函数的自变量和对应的函数值分别看作点的横坐标与纵坐标，满足条件的点集称为函数的图象。
2. 作法与特征
函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。作图时，通常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后根据有关性质作出函数图象。
三、函数图象的应用
如何检验一个图形是否为函数的图象？过图形意一点作与y轴垂直的直线，若所有直线与图形都只有一个交点，则此图形是函数的图象。
知识点解析
列表法是表示函数的重要方法，其优点是可直接在表中找到变量对应的函数值，无需计算。
求函数解析式的常用方法包括：
- 直接法（代入法）
- 待定系数法
- 换元法（配凑法）
- 消元法
四、特殊函数及其图象变换
1. 平移变换
函数的平移变换主要指的是函数图象在坐标轴上的平移。例如，函数图象可沿x轴或y轴进行平移操作，得到新的函数图象。
2. 对称变换
某些函数图象具有对称性，关于坐标轴或原点的对称可以得出新的函数图象。
3. 分段函数
分段函数是在不同区间内具有不同对应关系的函数。其图象由几段曲线或线段组成，需要注意各段图象的端点是空心点还是实心点。
知识点解析
分段函数是一个整体函数，而不是几个独立函数的组合。求分段函数的函数值时，需根据自变量的取值区间选择相应的解析式进行计算。
求值步骤
- 确定自变量所属的区间。
- 代入该区间对应的解析式求值。
五、总结与提升
(1) 注意事项：
- 在作图时，要特别注意定义域的影响，遵循定义域优先的原则。
- 对于含有绝对值的函数，需要根据绝对值的意义转化为分段函数来画图。
(2) 实际应用：
在解决实际问题时，分段函数能够帮助我们更好地理解和描述不同范围内的自变量与因变量之间的关系。需要结合实际意义写出分段函数的解析式，再根据需要选择合适的解析式解决问题。