进入今日的高等数学研讨，我们继续聚焦于定积分的深入理解。
先前在探讨微分求导时，我们曾涉猎过微分中值定理的推导过程。相对应的，积分学中亦存在中值定理。接下来，让我们一起探究其奥妙。
我们首先要谈的是极值定理，也被广泛认知为最大最小值定理。此定理的内涵相当直观：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它必然存在最大值和最小值，并且至少会在某些地方达到这些极值。
尽管该定理听起来颇为直观且容易理解，但要完整地证明它并非易事。该证明需借力于区间套定理、B-M定理等众多定理的推导。鉴于篇幅及难度的限制，本文将不涉及详细的证明过程，但若您对此感兴趣，可自行深入探索。
假设m和M分别是区间[a, b]上函数f(x)的最小值和最大值。依据极值定理，可推导出如下数学关系式：
尽管这个式子看起来稍显复杂，但借助图形进行解释时则显得格外直观。
图中灰色的阴影部分即为定积分的计算结果，而蓝色和大的矩形面积则分别代表m(b-a)和M(b-a)。
利用几何面积的关系我们可以轻易地推导出相关结论。
数学上的证明过程相对简单。因为m和M分别代表了最小和最大的函数值，所以我们可以得出 m ≤ f(x) ≤ M的关系。将常数视为函数并进行积分，我们得到的结果是矩形面积。这样我们就完成了证明。
虽然极值定理看似简单，但它却是众多数学定理的基础，比如与我们的积分中值定理就有着密切的联系。
对上述式子稍作变形后，我们可以发现，当b-a被视为常数且大于0时，若我们在不等式两边同时除以b-a，我们可以得到：
我们再次将此式子看作一个整体。它的值被限定在函数在指定区间的最大值与最小值之间。而根据连续函数的介值定理，在区间[a, b]上必定存在一点ξ，使得f(x)在该点的取值与该数值相匹配。
这里的积分中值定理有两个关键点需注意。首先是必须考虑到它是建立在连续函数的条件下。如果函数在某点ξ处未定义，那么定理可能不成立。这是该定理成立的重要前提条件。
第二点是关于连续函数的介值定理的简要介绍。它告诉我们对于在区间[a, b]上连续的函数，对于任何在其最大值和最小值之间的常数，我们总能在该区间上找到一点，使得该点的函数值恰好等于这个常数。
当理解了这些细节后，我们再来看刚才的式子。如果我们再次将常数乘回原式，右边的积分计算的就是由函数围成的曲形面积。
简而言之，以f(ξ)为高的矩形面积与由函数围成的曲形面积是相等的。这意味着f(ξ)不仅是矩形的高，更是函数在[a, b]区间上的平均值。
中值定理是微积分领域中极为重要的定理之一。熟悉其推导过程对于深化微积分的理解大有裨益。更重要的是，这两个定理的推导过程相对易于理解且颇具趣味。建议大家亲自尝试推导过程。