一、关于三元一次方程组的探讨
在空间坐标系中，三元一次方程组表现为三个相交的平面交汇于一点。若要解此方程组，依旧可采用传统的消元法。
将其中一个未知数代入另一个方程中，得到一个关于其余两个未知数的二元一次方程组。
接下来，我们以线性代数的视角来解析。先将方程组的系数矩阵列出，对于那些缺少方程系数的元素，用0来填充。
我们可以将每一列视为一个空间向量。取三个向量（2，0，-1）、（-1，-3，2）和（0，4，-1），通过放大、缩小或其他操作后重新组合，即可得到向量（0，4，-1）。显然，通过将（2，0，-1）和（-1，-3，2）乘以0并加上（0，4，-1）乘以1，即可得到向量（0，4，-1）。
二、三阶行列式的推导解析
虽然书本给出了三阶行列式的计算方法——主对角线乘积与副对角线乘积之差，但其推导过程并未详述。书中为我们提供了二阶行列式的推导逻辑。
应用消元法进行推导。首先消去某一未知数，即得到关于其余未知数的二元一次方程组。
进一步地，将此二元一次方程组的系数矩阵转化为二阶行列式进行计算。
经过计算，我们可以观察到结果的分母与三阶行列式的某一部分有相似之处。
按照二阶行列式的规律，我们可以推导出其分母对应的三阶行列式。用线条连接每一项的元素：平行于主对角线的线用红色实线连接，平行于副对角线的线用黑色虚线连接。
由此得出两个关键结论：
第一点，三阶行列式的计算包含六项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积并冠以正负号。
第二点，平行于主对角线的线上的元素乘积为正，而平行于副对角线的线上的元素乘积为负。
同样地，对于分子部分也可以写成三阶行列式。
通过以上推导，我们可以得出其分子式为三阶行列式。
为了确保数学上的严谨性，我们需要对结果进行验算。
在验算过程中，我们将分子逐项展开。其中某些项可以相互约简。
通过比较颜色相同的项并进行合并，最终得出结果与我们的推测一致。
总结三阶行列式的特点：它是一个3行3列的矩阵，每个元素都代表了一个特定位置的值。其计算方法主要是不同行不同列的元素相乘，（对于主对角线上的元素乘积冠以正号，副对角线上的元素乘积冠以负号），并将所有可能的组合（共六种情况）进行相加。