向量的乘法包含点积（例如）和叉积（例如）。在数学上，这些符号对于数而言表示数字相乘的操作，但对于向量来说，则表示截然不同的运算。
点积（亦称内积）是对两个向量进行运算，结果为一个标量。点积适用于二维、三维及任意维度的向量，可用于衡量向量之间的“相似程度”或“对齐程度”。
其计算公式为：当我们在几何空间中考虑时，点积实质上是向量在向量所在直线（三维中为平面）上的投影长度，乘以向量的长度。
余弦函数图描绘了向量间夹角与点积之间的关系。通过计算公式，我们可以得出两向量的夹角以及一个向量在另一个向量上的投影。通常情况下，点积越大，两向量夹角越小，彼此越接近。
若两向量间的夹角小于90°，则点积为正；夹角大于90°，则点积为负；夹角恰好为90°，则点积结果为0。
举例来说，夹角22.6°时的点积情况，夹角90°时的情况，以及夹角132.2°时的点积表现。
叉积（亦称向量积）以两个三维向量作为输入，输出另一个三维向量。它与点积的相似之处在于输入向量的长度和相对方向决定了输出；不同之处在于，它的输出不仅有大小，还伴有方向。
其计算公式及几何含义为：叉积的长度等于两向量所形成的平行四边形的面积，方向则垂直于两向量所张成的平面，并遵循右手定则。
通过计算公式，我们可以得知叉积生成的是一个垂直于两向量所张成平面的向量，该向量可用来判断方向。
例如，我们可以计算向量和的叉积。要深入理解点积的几何意义，我们可以设两向量的起点和终点，并考虑它们在△OAB中所形成的角度和距离关系。通过余弦定理和距离公式，我们可以推导出点积的几何解释。
叉积与行列式之间存在一定联系。虽然将叉积形式上表示为行列式并不是真正的叉积运算，但它与三维空间中3×3矩阵行列式所表示的平行六面体的有向体积概念相近。
如果我们把其中一个向量视为变量，并把它输入到一个矩阵行列式中，这个行列式的结果可以看作是由该向量与其他两个向量所组成的平行六面体的有向体积。这个过程可以视为一个线性变换，当这个线性变换简化为从到一维时，它实际上就表现为点积的形式。
通过一系列的数学推导和计算，我们可以求解出向量的坐标。最终，我们可以发现这个问题实际上转化为寻找一个向量，使得该向量与某个向量求点积的结果等于对应的三维方阵行列式的值。
在这个过程中，点积可以被看作是将一个向量投影到另一个向量上方的操作，然后计算投影长度与原长度的乘积。而右边所提到的平行六面体的体积可以拆解为底面积乘以高。底面积可以看作是两个向量所组成的平行四边形的面积，高则是垂直于这两个向量所张成的平面的方向上的分量长度。
综合以上信息，我们可以根据二者相等的关系，找到与所组成的平行四边形的面积相等的长度，而这个方向则是垂直于和所张成的平面。这样我们就可以确定叉积的结果。